Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65543 / 65529
↖ ↑ ↗
← N  0.019226°
E  0.019226°		 ← 305.43 m → N  0.019226°
E  0.021973°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N  0.016479°
E  0.019226°		 ← 305.43 m →
93 285 m²		 N  0.016479°
E  0.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500057220458984 y=0.499950408935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500057220458984 × 217)
    floor (0.500057220458984 × 131072)
    floor (65543.5)     		tx = 65543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499950408935547 × 217)
    floor (0.499950408935547 × 131072)
    floor (65529.5)     		ty = 65529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65543 / 65529 ti = "17/65543/65529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65543/65529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65543 ÷ 217
    65543 ÷ 131072     		x = 0.500053405761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65529 ÷ 217
    65529 ÷ 131072     		y = 0.499946594238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500053405761719 × 2 - 1) × π
    0.0001068115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00033556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499946594238281 × 2 - 1) × π
    0.0001068115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.000335558297340393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00033556} λ = 0.00033556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.000335558297340393))-π/2
    2×atan(1.00033561460332)-π/2
    2×0.78556594254297-π/2
    1.57113188508594-1.57079632675     		φ = 0.00033556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00033556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.019226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00033556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.019226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65543 KachelY 65529 0.00033556 0.00033556 0.019226 0.019226
    Oben rechts KachelX + 1 65544 KachelY 65529 0.00038350 0.00033556 0.021973 0.019226
    Unten links KachelX 65543 KachelY + 1 65530 0.00033556 0.00028762 0.019226 0.016479
    Unten rechts KachelX + 1 65544 KachelY + 1 65530 0.00038350 0.00028762 0.021973 0.016479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00033556-0.00028762) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dl = 305.42574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00033556-0.00028762) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dr = 305.42574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00033556-0.00038350) × cos(0.00033556) × R
    4.794e-05 × 0.999999943699744 × 6371000     		do = 305.425722804453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00033556-0.00038350) × cos(0.00028762) × R
    4.794e-05 × 0.999999958637368 × 6371000     		du = 305.425727366788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00033556)-sin(0.00028762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999943699744-0.999999958637368)×R²
    abs(0.00038350-0.00033556)×1.49376243596677e-08×R²
    4.794e-05×1.49376243596677e-08×6371000²
    4.794e-05×1.49376243596677e-08×40589641000000     		ar = 93284.878117178m²