Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65544 / 65545
↖ ↑ ↗
← S  0.024719°
E  0.021973°		 ← 305.36 m → S  0.024719°
E  0.024719°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.027466°
E  0.021973°		 ← 305.36 m →
93 265 m²		 S  0.027466°
E  0.024719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500064849853516 y=0.500072479248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500064849853516 × 217)
    floor (0.500064849853516 × 131072)
    floor (65544.5)     		tx = 65544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500072479248047 × 217)
    floor (0.500072479248047 × 131072)
    floor (65545.5)     		ty = 65545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65544 / 65545 ti = "17/65544/65545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65544/65545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65544 ÷ 217
    65544 ÷ 131072     		x = 0.50006103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65545 ÷ 217
    65545 ÷ 131072     		y = 0.500068664550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50006103515625 × 2 - 1) × π
    0.0001220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00038350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500068664550781 × 2 - 1) × π
    -0.0001373291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.000431432096580505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00038350} λ = 0.00038350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.000431432096580505))-π/2
    2×atan(0.999568660956864)-π/2
    2×0.78518244735585-π/2
    1.5703648947117-1.57079632675     		φ = -0.00043143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00038350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.021973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00043143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.024719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65544 KachelY 65545 0.00038350 -0.00043143 0.021973 -0.024719
    Oben rechts KachelX + 1 65545 KachelY 65545 0.00043143 -0.00043143 0.024719 -0.024719
    Unten links KachelX 65544 KachelY + 1 65546 0.00038350 -0.00047937 0.021973 -0.027466
    Unten rechts KachelX + 1 65545 KachelY + 1 65546 0.00043143 -0.00047937 0.024719 -0.027466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00043143--0.00047937) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dl = 305.42574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00043143--0.00047937) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dr = 305.42574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00038350-0.00043143) × cos(-0.00043143) × R
    4.793e-05 × 0.999999906934079 × 6371000     		do = 305.362001581202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00038350-0.00043143) × cos(-0.00047937) × R
    4.793e-05 × 0.999999885102204 × 6371000     		du = 305.361994914576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00043143)-sin(-0.00047937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999906934079-0.999999885102204)×R²
    abs(0.00043143-0.00038350)×2.18318753075764e-08×R²
    4.793e-05×2.18318753075764e-08×6371000²
    4.793e-05×2.18318753075764e-08×40589641000000     		ar = 93265.4143006023m²