Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65546 / 65530
↖ ↑ ↗
← N  0.016479°
E  0.027466°		 ← 305.43 m → N  0.016479°
E  0.030213°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N  0.013733°
E  0.027466°		 ← 305.43 m →
93 285 m²		 N  0.013733°
E  0.030213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500080108642578 y=0.499958038330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500080108642578 × 217)
    floor (0.500080108642578 × 131072)
    floor (65546.5)     		tx = 65546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499958038330078 × 217)
    floor (0.499958038330078 × 131072)
    floor (65530.5)     		ty = 65530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65546 / 65530 ti = "17/65546/65530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65546/65530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65546 ÷ 217
    65546 ÷ 131072     		x = 0.500076293945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65530 ÷ 217
    65530 ÷ 131072     		y = 0.499954223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500076293945312 × 2 - 1) × π
    0.000152587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00047937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499954223632812 × 2 - 1) × π
    9.1552734375e-05 × 3.1415926535     		Φ = 0.000287621397720337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00047937} λ = 0.00047937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.000287621397720337))-π/2
    2×atan(1.00028766276472)-π/2
    2×0.785541974094326-π/2
    1.57108394818865-1.57079632675     		φ = 0.00028762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00047937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.027466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00028762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.016479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65546 KachelY 65530 0.00047937 0.00028762 0.027466 0.016479
    Oben rechts KachelX + 1 65547 KachelY 65530 0.00052731 0.00028762 0.030213 0.016479
    Unten links KachelX 65546 KachelY + 1 65531 0.00047937 0.00023968 0.027466 0.013733
    Unten rechts KachelX + 1 65547 KachelY + 1 65531 0.00052731 0.00023968 0.030213 0.013733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00028762-0.00023968) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dl = 305.42574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00028762-0.00023968) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dr = 305.42574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00047937-0.00052731) × cos(0.00028762) × R
    4.794e-05 × 0.999999958637368 × 6371000     		do = 305.425727366788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00047937-0.00052731) × cos(0.00023968) × R
    4.794e-05 × 0.999999971276749 × 6371000     		du = 305.42573122718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00028762)-sin(0.00023968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999958637368-0.999999971276749)×R²
    abs(0.00052731-0.00047937)×1.26393807642344e-08×R²
    4.794e-05×1.26393807642344e-08×6371000²
    4.794e-05×1.26393807642344e-08×40589641000000     		ar = 93284.8794034368m²