Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65549 / 65549
↖ ↑ ↗
← S  0.035706°
E  0.035706°		 ← 305.43 m → S  0.035706°
E  0.038452°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.038452°
E  0.035706°		 ← 305.43 m →
93 285 m²		 S  0.038452°
E  0.038452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500102996826172 y=0.500102996826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500102996826172 × 217)
    floor (0.500102996826172 × 131072)
    floor (65549.5)     		tx = 65549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500102996826172 × 217)
    floor (0.500102996826172 × 131072)
    floor (65549.5)     		ty = 65549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65549 / 65549 ti = "17/65549/65549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65549/65549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65549 ÷ 217
    65549 ÷ 131072     		x = 0.500099182128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65549 ÷ 217
    65549 ÷ 131072     		y = 0.500099182128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500099182128906 × 2 - 1) × π
    0.0001983642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00062318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500099182128906 × 2 - 1) × π
    -0.0001983642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00062317969506073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00062318} λ = 0.00062318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00062317969506073))-π/2
    2×atan(0.999377014441076)-π/2
    2×0.785086573570086-π/2
    1.57017314714017-1.57079632675     		φ = -0.00062318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00062318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.035706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00062318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.035706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65549 KachelY 65549 0.00062318 -0.00062318 0.035706 -0.035706
    Oben rechts KachelX + 1 65550 KachelY 65549 0.00067112 -0.00062318 0.038452 -0.035706
    Unten links KachelX 65549 KachelY + 1 65550 0.00062318 -0.00067112 0.035706 -0.038452
    Unten rechts KachelX + 1 65550 KachelY + 1 65550 0.00067112 -0.00067112 0.038452 -0.038452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00062318--0.00067112) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dl = 305.42574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00062318--0.00067112) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dr = 305.42574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00062318-0.00067112) × cos(-0.00062318) × R
    4.794e-05 × 0.99999980582335 × 6371000     		do = 305.425680693453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00062318-0.00067112) × cos(-0.00067112) × R
    4.794e-05 × 0.999999774798981 × 6371000     		du = 305.425671217812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00062318)-sin(-0.00067112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99999980582335-0.999999774798981)×R²
    abs(0.00067112-0.00062318)×3.10243688517176e-08×R²
    4.794e-05×3.10243688517176e-08×6371000²
    4.794e-05×3.10243688517176e-08×40589641000000     		ar = 93284.8631116152m²