Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65550 / 65550
↖ ↑ ↗
← S  0.038452°
E  0.038452°		 ← 305.36 m → S  0.038452°
E  0.041199°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.041199°
E  0.038452°		 ← 305.36 m →
93 246 m²		 S  0.041199°
E  0.041199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500110626220703 y=0.500110626220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500110626220703 × 217)
    floor (0.500110626220703 × 131072)
    floor (65550.5)     		tx = 65550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500110626220703 × 217)
    floor (0.500110626220703 × 131072)
    floor (65550.5)     		ty = 65550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65550 / 65550 ti = "17/65550/65550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65550/65550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65550 ÷ 217
    65550 ÷ 131072     		x = 0.500106811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65550 ÷ 217
    65550 ÷ 131072     		y = 0.500106811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500106811523438 × 2 - 1) × π
    0.000213623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00067112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500106811523438 × 2 - 1) × π
    -0.000213623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.000671116594680786
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00067112} λ = 0.00067112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.000671116594680786))-π/2
    2×atan(0.999329108553691)-π/2
    2×0.785062605125297-π/2
    1.57012521025059-1.57079632675     		φ = -0.00067112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00067112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.038452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00067112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.038452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65550 KachelY 65550 0.00067112 -0.00067112 0.038452 -0.038452
    Oben rechts KachelX + 1 65551 KachelY 65550 0.00071905 -0.00067112 0.041199 -0.038452
    Unten links KachelX 65550 KachelY + 1 65551 0.00067112 -0.00071905 0.038452 -0.041199
    Unten rechts KachelX + 1 65551 KachelY + 1 65551 0.00071905 -0.00071905 0.041199 -0.041199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00067112--0.00071905) × R
    4.79300000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.36203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00067112--0.00071905) × R
    4.79300000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.36203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00067112-0.00071905) × cos(-0.00067112) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.999999774798981 × 6371000     		do = 305.36196123216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00067112-0.00071905) × cos(-0.00071905) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.99999974148356 × 6371000     		du = 305.361951058895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00067112)-sin(-0.00071905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999774798981-0.99999974148356)×R²
    abs(0.00071905-0.00067112)×3.3315421421598e-08×R²
    4.79300000000001e-05×3.3315421421598e-08×6371000²
    4.79300000000001e-05×3.3315421421598e-08×40589641000000     		ar = 93245.9468312205m²