Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 656 / 144
↖ ↑ ↗
← N 78.061989°
E 50.625000°		 ← 8 086.31 m → N 78.061989°
E 50.976563°		 →
↑
8 110.60 m
↓
↑
8 110.60 m
↓
N 77.989049°
E 50.625000°		 ← 8 134.99 m →
65 782 282 m²		 N 77.989049°
E 50.976563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64111328125 y=0.14111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64111328125 × 210)
    floor (0.64111328125 × 1024)
    floor (656.5)     		tx = 656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14111328125 × 210)
    floor (0.14111328125 × 1024)
    floor (144.5)     		ty = 144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 656 / 144 ti = "10/656/144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/656/144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 656 ÷ 210
    656 ÷ 1024     		x = 0.640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 144 ÷ 210
    144 ÷ 1024     		y = 0.140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640625 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140625 × 2 - 1) × π
    0.71875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25801971970313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88357293} λ = 0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25801971970313))-π/2
    2×atan(9.56413074179742)-π/2
    2×1.46661752937248-π/2
    2.93323505874497-1.57079632675     		φ = 1.36243873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36243873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.061989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 656 KachelY 144 0.88357293 1.36243873 50.625000 78.061989
    Oben rechts KachelX + 1 657 KachelY 144 0.88970886 1.36243873 50.976563 78.061989
    Unten links KachelX 656 KachelY + 1 145 0.88357293 1.36116568 50.625000 77.989049
    Unten rechts KachelX + 1 657 KachelY + 1 145 0.88970886 1.36116568 50.976563 77.989049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36243873-1.36116568) × R
    0.00127305 × 6371000     		dl = 8110.60154999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36243873-1.36116568) × R
    0.00127305 × 6371000     		dr = 8110.60154999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88357293-0.88970886) × cos(1.36243873) × R
    0.00613593000000001 × 0.206853298300232 × 6371000     		do = 8086.31121189128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88357293-0.88970886) × cos(1.36116568) × R
    0.00613593000000001 × 0.208098646782033 × 6371000     		du = 8134.99438723269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36243873)-sin(1.36116568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206853298300232-0.208098646782033)×R²
    abs(0.88970886-0.88357293)×0.00124534848180088×R²
    0.00613593000000001×0.00124534848180088×6371000²
    0.00613593000000001×0.00124534848180088×40589641000000     		ar = 65782282.0518464m²