Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 656 / 1680
↖ ↑ ↗
← N 30.751278°
W122.343750°		 ← 8 398.86 m → N 30.751278°
W122.255860°		 →
↑
8 402.20 m
↓
↑
8 402.20 m
↓
N 30.675715°
W122.343750°		 ← 8 405.44 m →
70 596 551 m²		 N 30.675715°
W122.255860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1602783203125 y=0.4102783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1602783203125 × 212)
    floor (0.1602783203125 × 4096)
    floor (656.5)     		tx = 656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4102783203125 × 212)
    floor (0.4102783203125 × 4096)
    floor (1680.5)     		ty = 1680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 656 / 1680 ti = "12/656/1680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/656/1680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 656 ÷ 212
    656 ÷ 4096     		x = 0.16015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1680 ÷ 212
    1680 ÷ 4096     		y = 0.41015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16015625 × 2 - 1) × π
    -0.6796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.13530126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41015625 × 2 - 1) × π
    0.1796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.564504929925781
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13530126} λ = -2.13530126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.564504929925781))-π/2
    2×atan(1.75857694835724)-π/2
    2×1.05375368658604-π/2
    2.10750737317209-1.57079632675     		φ = 0.53671105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13530126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.343750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53671105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.751278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 656 KachelY 1680 -2.13530126 0.53671105 -122.343750 30.751278
    Oben rechts KachelX + 1 657 KachelY 1680 -2.13376728 0.53671105 -122.255860 30.751278
    Unten links KachelX 656 KachelY + 1 1681 -2.13530126 0.53539223 -122.343750 30.675715
    Unten rechts KachelX + 1 657 KachelY + 1 1681 -2.13376728 0.53539223 -122.255860 30.675715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53671105-0.53539223) × R
    0.00131881999999994 × 6371000     		dl = 8402.20221999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53671105-0.53539223) × R
    0.00131881999999994 × 6371000     		dr = 8402.20221999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13530126--2.13376728) × cos(0.53671105) × R
    0.00153398000000005 × 0.859395006889381 × 6371000     		do = 8398.85586924918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13530126--2.13376728) × cos(0.53539223) × R
    0.00153398000000005 × 0.860068588155245 × 6371000     		du = 8405.43876992101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53671105)-sin(0.53539223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859395006889381-0.860068588155245)×R²
    abs(-2.13376728--2.13530126)×0.000673581265863921×R²
    0.00153398000000005×0.000673581265863921×6371000²
    0.00153398000000005×0.000673581265863921×40589641000000     		ar = 70596551.0936787m²