Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 656 / 400
↖ ↑ ↗
← N 36.597889°
E 50.625000°		 ← 31.385 km → N 36.597889°
E 50.976563°		 →
↑
31.442 km
↓
↑
31.442 km
↓
N 36.315125°
E 50.625000°		 ← 31.499 km →
988.596 km²		 N 36.315125°
E 50.976563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64111328125 y=0.39111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64111328125 × 210)
    floor (0.64111328125 × 1024)
    floor (656.5)     		tx = 656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.39111328125 × 210)
    floor (0.39111328125 × 1024)
    floor (400.5)     		ty = 400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 656 / 400 ti = "10/656/400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/656/400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 656 ÷ 210
    656 ÷ 1024     		x = 0.640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 400 ÷ 210
    400 ÷ 1024     		y = 0.390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640625 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.390625 × 2 - 1) × π
    0.21875 × 3.1415926535     		Φ = 0.687223392953125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88357293} λ = 0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.687223392953125))-π/2
    2×atan(1.98818744685741)-π/2
    2×1.10477499571553-π/2
    2.20954999143106-1.57079632675     		φ = 0.63875366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.63875366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.597889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 656 KachelY 400 0.88357293 0.63875366 50.625000 36.597889
    Oben rechts KachelX + 1 657 KachelY 400 0.88970886 0.63875366 50.976563 36.597889
    Unten links KachelX 656 KachelY + 1 401 0.88357293 0.63381850 50.625000 36.315125
    Unten rechts KachelX + 1 657 KachelY + 1 401 0.88970886 0.63381850 50.976563 36.315125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.63875366-0.63381850) × R
    0.00493516000000005 × 6371000     		dl = 31441.9043600003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.63875366-0.63381850) × R
    0.00493516000000005 × 6371000     		dr = 31441.9043600003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88357293-0.88970886) × cos(0.63875366) × R
    0.00613593000000001 × 0.802839443284969 × 6371000     		do = 31384.6075693757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88357293-0.88970886) × cos(0.63381850) × R
    0.00613593000000001 × 0.805771973626887 × 6371000     		du = 31499.2460749152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.63875366)-sin(0.63381850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.802839443284969-0.805771973626887)×R²
    abs(0.88970886-0.88357293)×0.00293253034191776×R²
    0.00613593000000001×0.00293253034191776×6371000²
    0.00613593000000001×0.00293253034191776×40589641000000     		ar = 988596062.541188m²