Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 656 / 656
↖ ↑ ↗
← S 45.089036°
E 50.625000°		 ← 27.599 km → S 45.089036°
E 50.976563°		 →
↑
27.539 km
↓
↑
27.539 km
↓
S 45.336702°
E 50.625000°		 ← 27.479 km →
758.411 km²		 S 45.336702°
E 50.976563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64111328125 y=0.64111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64111328125 × 210)
    floor (0.64111328125 × 1024)
    floor (656.5)     		tx = 656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64111328125 × 210)
    floor (0.64111328125 × 1024)
    floor (656.5)     		ty = 656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 656 / 656 ti = "10/656/656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/656/656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 656 ÷ 210
    656 ÷ 1024     		x = 0.640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 656 ÷ 210
    656 ÷ 1024     		y = 0.640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640625 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640625 × 2 - 1) × π
    -0.28125 × 3.1415926535     		Φ = -0.883572933796875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88357293} λ = 0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.883572933796875))-π/2
    2×atan(0.413303564177177)-π/2
    2×0.391922099828802-π/2
    0.783844199657604-1.57079632675     		φ = -0.78695213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78695213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.089036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 656 KachelY 656 0.88357293 -0.78695213 50.625000 -45.089036
    Oben rechts KachelX + 1 657 KachelY 656 0.88970886 -0.78695213 50.976563 -45.089036
    Unten links KachelX 656 KachelY + 1 657 0.88357293 -0.79127472 50.625000 -45.336702
    Unten rechts KachelX + 1 657 KachelY + 1 657 0.88970886 -0.79127472 50.976563 -45.336702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78695213--0.79127472) × R
    0.00432259000000002 × 6371000     		dl = 27539.2208900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78695213--0.79127472) × R
    0.00432259000000002 × 6371000     		dr = 27539.2208900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88357293-0.88970886) × cos(-0.78695213) × R
    0.00613593000000001 × 0.706007107541517 × 6371000     		do = 27599.2369292643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88357293-0.88970886) × cos(-0.79127472) × R
    0.00613593000000001 × 0.702939242531099 × 6371000     		du = 27479.3079195064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78695213)-sin(-0.79127472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706007107541517-0.702939242531099)×R²
    abs(0.88970886-0.88357293)×0.00306786501041822×R²
    0.00613593000000001×0.00306786501041822×6371000²
    0.00613593000000001×0.00306786501041822×40589641000000     		ar = 758411287.341334m²