Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 656 / 880
↖ ↑ ↗
← S 78.061989°
E 50.625000°		 ← 8 086.31 m → S 78.061989°
E 50.976563°		 →
↑
8 062.12 m
↓
↑
8 062.12 m
↓
S 78.134493°
E 50.625000°		 ← 8 037.91 m →
64 997 682 m²		 S 78.134493°
E 50.976563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64111328125 y=0.85986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64111328125 × 210)
    floor (0.64111328125 × 1024)
    floor (656.5)     		tx = 656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.85986328125 × 210)
    floor (0.85986328125 × 1024)
    floor (880.5)     		ty = 880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 656 / 880 ti = "10/656/880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/656/880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 656 ÷ 210
    656 ÷ 1024     		x = 0.640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 880 ÷ 210
    880 ÷ 1024     		y = 0.859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640625 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.859375 × 2 - 1) × π
    -0.71875 × 3.1415926535     		Φ = -2.25801971970313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88357293} λ = 0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.25801971970313))-π/2
    2×atan(0.104557332704558)-π/2
    2×0.104178797422412-π/2
    0.208357594844824-1.57079632675     		φ = -1.36243873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.36243873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -78.061989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 656 KachelY 880 0.88357293 -1.36243873 50.625000 -78.061989
    Oben rechts KachelX + 1 657 KachelY 880 0.88970886 -1.36243873 50.976563 -78.061989
    Unten links KachelX 656 KachelY + 1 881 0.88357293 -1.36370417 50.625000 -78.134493
    Unten rechts KachelX + 1 657 KachelY + 1 881 0.88970886 -1.36370417 50.976563 -78.134493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.36243873--1.36370417) × R
    0.00126544000000006 × 6371000     		dl = 8062.1182400004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.36243873--1.36370417) × R
    0.00126544000000006 × 6371000     		dr = 8062.1182400004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88357293-0.88970886) × cos(-1.36243873) × R
    0.00613593000000001 × 0.206853298300232 × 6371000     		do = 8086.31121189128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88357293-0.88970886) × cos(-1.36370417) × R
    0.00613593000000001 × 0.205615061983061 × 6371000     		du = 8037.9060653609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.36243873)-sin(-1.36370417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206853298300232-0.205615061983061)×R²
    abs(0.88970886-0.88357293)×0.00123823631717168×R²
    0.00613593000000001×0.00123823631717168×6371000²
    0.00613593000000001×0.00123823631717168×40589641000000     		ar = 64997681.7819558m²