Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 656 / 912
↖ ↑ ↗
← S 80.178713°
E 50.625000°		 ← 6 668.14 m → S 80.178713°
E 50.976563°		 →
↑
6 648.01 m
↓
↑
6 648.01 m
↓
S 80.238500°
E 50.625000°		 ← 6 627.94 m →
44 196 273 m²		 S 80.238500°
E 50.976563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64111328125 y=0.89111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64111328125 × 210)
    floor (0.64111328125 × 1024)
    floor (656.5)     		tx = 656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89111328125 × 210)
    floor (0.89111328125 × 1024)
    floor (912.5)     		ty = 912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 656 / 912 ti = "10/656/912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/656/912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 656 ÷ 210
    656 ÷ 1024     		x = 0.640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 912 ÷ 210
    912 ÷ 1024     		y = 0.890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640625 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.890625 × 2 - 1) × π
    -0.78125 × 3.1415926535     		Φ = -2.45436926054687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88357293} λ = 0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.45436926054687))-π/2
    2×atan(0.0859173698292689)-π/2
    2×0.085706893142233-π/2
    0.171413786284466-1.57079632675     		φ = -1.39938254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39938254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.178713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 656 KachelY 912 0.88357293 -1.39938254 50.625000 -80.178713
    Oben rechts KachelX + 1 657 KachelY 912 0.88970886 -1.39938254 50.976563 -80.178713
    Unten links KachelX 656 KachelY + 1 913 0.88357293 -1.40042602 50.625000 -80.238500
    Unten rechts KachelX + 1 657 KachelY + 1 913 0.88970886 -1.40042602 50.976563 -80.238500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39938254--1.40042602) × R
    0.0010434800000001 × 6371000     		dl = 6648.01108000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39938254--1.40042602) × R
    0.0010434800000001 × 6371000     		dr = 6648.01108000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88357293-0.88970886) × cos(-1.39938254) × R
    0.00613593000000001 × 0.170575586251288 × 6371000     		do = 6668.14252860848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88357293-0.88970886) × cos(-1.40042602) × R
    0.00613593000000001 × 0.169547306195044 × 6371000     		du = 6627.94499433614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39938254)-sin(-1.40042602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170575586251288-0.169547306195044)×R²
    abs(0.88970886-0.88357293)×0.00102828005624378×R²
    0.00613593000000001×0.00102828005624378×6371000²
    0.00613593000000001×0.00102828005624378×40589641000000     		ar = 44196272.5968822m²