Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65601 / 65599
↖ ↑ ↗
← S  0.173034°
E  0.178528°		 ← 305.42 m → S  0.173034°
E  0.181275°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.175781°
E  0.178528°		 ← 305.42 m →
93 284 m²		 S  0.175781°
E  0.181275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500499725341797 y=0.500484466552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500499725341797 × 217)
    floor (0.500499725341797 × 131072)
    floor (65601.5)     		tx = 65601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500484466552734 × 217)
    floor (0.500484466552734 × 131072)
    floor (65599.5)     		ty = 65599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65601 / 65599 ti = "17/65601/65599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65601/65599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65601 ÷ 217
    65601 ÷ 131072     		x = 0.500495910644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65599 ÷ 217
    65599 ÷ 131072     		y = 0.500480651855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500495910644531 × 2 - 1) × π
    0.0009918212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00311590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500480651855469 × 2 - 1) × π
    -0.0009613037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.00302002467606354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00311590} λ = 0.00311590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00302002467606354))-π/2
    2×atan(0.996984531011209)-π/2
    2×0.783888153354768-π/2
    1.56777630670954-1.57079632675     		φ = -0.00302002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00311590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.178528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00302002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.173034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65601 KachelY 65599 0.00311590 -0.00302002 0.178528 -0.173034
    Oben rechts KachelX + 1 65602 KachelY 65599 0.00316384 -0.00302002 0.181275 -0.173034
    Unten links KachelX 65601 KachelY + 1 65600 0.00311590 -0.00306796 0.178528 -0.175781
    Unten rechts KachelX + 1 65602 KachelY + 1 65600 0.00316384 -0.00306796 0.181275 -0.175781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00302002--0.00306796) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00302002--0.00306796) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00311590-0.00316384) × cos(-0.00302002) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999995439743066 × 6371000     		do = 305.42434718015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00311590-0.00316384) × cos(-0.00306796) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999995293814411 × 6371000     		du = 305.424302609782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00302002)-sin(-0.00306796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999995439743066-0.999995293814411)×R²
    abs(0.00316384-0.00311590)×1.45928655270744e-07×R²
    4.79399999999998e-05×1.45928655270744e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.45928655270744e-07×40589641000000     		ar = 93284.4504629112m²