Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65608 / 65624
↖ ↑ ↗
← S  0.241698°
E  0.197754°		 ← 305.36 m → S  0.241698°
E  0.200500°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.244445°
E  0.197754°		 ← 305.36 m →
93 265 m²		 S  0.244445°
E  0.200500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500553131103516 y=0.500675201416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500553131103516 × 217)
    floor (0.500553131103516 × 131072)
    floor (65608.5)     		tx = 65608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500675201416016 × 217)
    floor (0.500675201416016 × 131072)
    floor (65624.5)     		ty = 65624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65608 / 65624 ti = "17/65608/65624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65608/65624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65608 ÷ 217
    65608 ÷ 131072     		x = 0.50054931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65624 ÷ 217
    65624 ÷ 131072     		y = 0.50067138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50054931640625 × 2 - 1) × π
    0.0010986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00345146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50067138671875 × 2 - 1) × π
    -0.0013427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.00421844716656494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00345146} λ = 0.00345146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00421844716656494))-π/2
    2×atan(0.995790437983447)-π/2
    2×0.783288946069848-π/2
    1.5665778921397-1.57079632675     		φ = -0.00421843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00345146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.197754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00421843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.241698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65608 KachelY 65624 0.00345146 -0.00421843 0.197754 -0.241698
    Oben rechts KachelX + 1 65609 KachelY 65624 0.00349939 -0.00421843 0.200500 -0.241698
    Unten links KachelX 65608 KachelY + 1 65625 0.00345146 -0.00426637 0.197754 -0.244445
    Unten rechts KachelX + 1 65609 KachelY + 1 65625 0.00349939 -0.00426637 0.200500 -0.244445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00421843--0.00426637) × R
    4.79400000000007e-05 × 6371000     		dl = 305.425740000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00421843--0.00426637) × R
    4.79400000000007e-05 × 6371000     		dr = 305.425740000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00345146-0.00349939) × cos(-0.00421843) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.999991102437362 × 6371000     		do = 305.35931302221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00345146-0.00349939) × cos(-0.00426637) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.999990899057316 × 6371000     		du = 305.359250917666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00421843)-sin(-0.00426637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999991102437362-0.999990899057316)×R²
    abs(0.00349939-0.00345146)×2.0338004591558e-07×R²
    4.79299999999998e-05×2.0338004591558e-07×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.0338004591558e-07×40589641000000     		ar = 93264.5846793998m²