Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65616 / 65617
↖ ↑ ↗
← S  0.222473°
E  0.219726°		 ← 305.42 m → S  0.222473°
E  0.222473°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.225219°
E  0.219726°		 ← 305.42 m →
93 284 m²		 S  0.225219°
E  0.222473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500614166259766 y=0.500621795654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500614166259766 × 217)
    floor (0.500614166259766 × 131072)
    floor (65616.5)     		tx = 65616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500621795654297 × 217)
    floor (0.500621795654297 × 131072)
    floor (65617.5)     		ty = 65617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65616 / 65617 ti = "17/65616/65617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65616/65617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65616 ÷ 217
    65616 ÷ 131072     		x = 0.5006103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65617 ÷ 217
    65617 ÷ 131072     		y = 0.500617980957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5006103515625 × 2 - 1) × π
    0.001220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00383495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500617980957031 × 2 - 1) × π
    -0.0012359619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.00388288886922455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00383495} λ = 0.00383495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00388288886922455))-π/2
    2×atan(0.996124639796285)-π/2
    2×0.783456723841288-π/2
    1.56691344768258-1.57079632675     		φ = -0.00388288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00383495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.219726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00388288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.222473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65616 KachelY 65617 0.00383495 -0.00388288 0.219726 -0.222473
    Oben rechts KachelX + 1 65617 KachelY 65617 0.00388289 -0.00388288 0.222473 -0.222473
    Unten links KachelX 65616 KachelY + 1 65618 0.00383495 -0.00393082 0.219726 -0.225219
    Unten rechts KachelX + 1 65617 KachelY + 1 65618 0.00388289 -0.00393082 0.222473 -0.225219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00388288--0.00393082) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00388288--0.00393082) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00383495-0.00388289) × cos(-0.00388288) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999992461630924 × 6371000     		do = 305.423437588045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00383495-0.00388289) × cos(-0.00393082) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999992274337011 × 6371000     		du = 305.423380383663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00388288)-sin(-0.00393082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999992461630924-0.999992274337011)×R²
    abs(0.00388289-0.00383495)×1.87293912601305e-07×R²
    4.79399999999998e-05×1.87293912601305e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.87293912601305e-07×40589641000000     		ar = 93284.1707206937m²