Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65633 / 65631
↖ ↑ ↗
← S  0.260924°
E  0.266418°		 ← 305.42 m → S  0.260924°
E  0.269165°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.263671°
E  0.266418°		 ← 305.42 m →
93 284 m²		 S  0.263671°
E  0.269165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500743865966797 y=0.500728607177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500743865966797 × 217)
    floor (0.500743865966797 × 131072)
    floor (65633.5)     		tx = 65633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500728607177734 × 217)
    floor (0.500728607177734 × 131072)
    floor (65631.5)     		ty = 65631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65633 / 65631 ti = "17/65633/65631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65633/65631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65633 ÷ 217
    65633 ÷ 131072     		x = 0.500740051269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65631 ÷ 217
    65631 ÷ 131072     		y = 0.500724792480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500740051269531 × 2 - 1) × π
    0.0014801025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00464988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500724792480469 × 2 - 1) × π
    -0.0014495849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.00455400546390533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00464988} λ = 0.00464988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00455400546390533))-π/2
    2×atan(0.995456348295988)-π/2
    2×0.783121168535902-π/2
    1.5662423370718-1.57079632675     		φ = -0.00455399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00464988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.266418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00455399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.260924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65633 KachelY 65631 0.00464988 -0.00455399 0.266418 -0.260924
    Oben rechts KachelX + 1 65634 KachelY 65631 0.00469782 -0.00455399 0.269165 -0.260924
    Unten links KachelX 65633 KachelY + 1 65632 0.00464988 -0.00460193 0.266418 -0.263671
    Unten rechts KachelX + 1 65634 KachelY + 1 65632 0.00469782 -0.00460193 0.269165 -0.263671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00455399--0.00460193) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00455399--0.00460193) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00464988-0.00469782) × cos(-0.00455399) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999989630605461 × 6371000     		do = 305.422572919998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00464988-0.00469782) × cos(-0.00460193) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999989411138825 × 6371000     		du = 305.422505889238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00455399)-sin(-0.00460193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999989630605461-0.999989411138825)×R²
    abs(0.00469782-0.00464988)×2.19466635864585e-07×R²
    4.79399999999998e-05×2.19466635864585e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.19466635864585e-07×40589641000000     		ar = 93283.9051282m²