Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 657 / 143
↖ ↑ ↗
← N 78.134493°
E 50.976563°		 ← 8 037.89 m → N 78.134493°
E 51.328125°		 →
↑
8 062.12 m
↓
↑
8 062.12 m
↓
N 78.061989°
E 50.976563°		 ← 8 086.30 m →
64 997 576 m²		 N 78.061989°
E 51.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64208984375 y=0.14013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64208984375 × 210)
    floor (0.64208984375 × 1024)
    floor (657.5)     		tx = 657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14013671875 × 210)
    floor (0.14013671875 × 1024)
    floor (143.5)     		ty = 143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 657 / 143 ti = "10/657/143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/657/143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 657 ÷ 210
    657 ÷ 1024     		x = 0.6416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 143 ÷ 210
    143 ÷ 1024     		y = 0.1396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6416015625 × 2 - 1) × π
    0.283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88970886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1396484375 × 2 - 1) × π
    0.720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26415564285449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88970886} λ = 0.88970886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26415564285449))-π/2
    2×atan(9.6229959244701)-π/2
    2×1.46725024610046-π/2
    2.93450049220092-1.57079632675     		φ = 1.36370417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88970886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.976563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36370417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.134493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 657 KachelY 143 0.88970886 1.36370417 50.976563 78.134493
    Oben rechts KachelX + 1 658 KachelY 143 0.89584478 1.36370417 51.328125 78.134493
    Unten links KachelX 657 KachelY + 1 144 0.88970886 1.36243873 50.976563 78.061989
    Unten rechts KachelX + 1 658 KachelY + 1 144 0.89584478 1.36243873 51.328125 78.061989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36370417-1.36243873) × R
    0.00126544000000006 × 6371000     		dl = 8062.1182400004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36370417-1.36243873) × R
    0.00126544000000006 × 6371000     		dr = 8062.1182400004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88970886-0.89584478) × cos(1.36370417) × R
    0.00613591999999996 × 0.205615061983061 × 6371000     		do = 8037.89296562523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88970886-0.89584478) × cos(1.36243873) × R
    0.00613591999999996 × 0.206853298300232 × 6371000     		du = 8086.29803326758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36370417)-sin(1.36243873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205615061983061-0.206853298300232)×R²
    abs(0.89584478-0.88970886)×0.00123823631717168×R²
    0.00613591999999996×0.00123823631717168×6371000²
    0.00613591999999996×0.00123823631717168×40589641000000     		ar = 64997575.8523215m²