Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65730 / 65986
↖ ↑ ↗
← S  1.235866°
E  0.532837°		 ← 305.35 m → S  1.235866°
E  0.535584°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.238612°
E  0.532837°		 ← 305.35 m →
93 244 m²		 S  1.238612°
E  0.535584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501483917236328 y=0.503437042236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501483917236328 × 217)
    floor (0.501483917236328 × 131072)
    floor (65730.5)     		tx = 65730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503437042236328 × 217)
    floor (0.503437042236328 × 131072)
    floor (65986.5)     		ty = 65986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65730 / 65986 ti = "17/65730/65986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65730/65986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65730 ÷ 217
    65730 ÷ 131072     		x = 0.501480102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65986 ÷ 217
    65986 ÷ 131072     		y = 0.503433227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501480102539062 × 2 - 1) × π
    0.002960205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00929976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503433227539062 × 2 - 1) × π
    -0.006866455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0215716048290253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00929976} λ = 0.00929976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0215716048290253))-π/2
    2×atan(0.978659398221288)-π/2
    2×0.774613197385975-π/2
    1.54922639477195-1.57079632675     		φ = -0.02156993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00929976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.532837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02156993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.235866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65730 KachelY 65986 0.00929976 -0.02156993 0.532837 -1.235866
    Oben rechts KachelX + 1 65731 KachelY 65986 0.00934770 -0.02156993 0.535584 -1.235866
    Unten links KachelX 65730 KachelY + 1 65987 0.00929976 -0.02161786 0.532837 -1.238612
    Unten rechts KachelX + 1 65731 KachelY + 1 65987 0.00934770 -0.02161786 0.535584 -1.238612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02156993--0.02161786) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02156993--0.02161786) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00929976-0.00934770) × cos(-0.02156993) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999767378079283 × 6371000     		do = 305.354691277724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00929976-0.00934770) × cos(-0.02161786) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.99976634316433 × 6371000     		du = 305.354375188058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02156993)-sin(-0.02161786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999767378079283-0.99976634316433)×R²
    abs(0.00934770-0.00929976)×1.03491495340169e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.03491495340169e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.03491495340169e-06×40589641000000     		ar = 93243.6801555424m²