Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65790 / 65794
↖ ↑ ↗
← S  0.708600°
E  0.697632°		 ← 305.40 m → S  0.708600°
E  0.700378°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.711347°
E  0.697632°		 ← 305.40 m →
93 278 m²		 S  0.711347°
E  0.700378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501941680908203 y=0.501972198486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501941680908203 × 217)
    floor (0.501941680908203 × 131072)
    floor (65790.5)     		tx = 65790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501972198486328 × 217)
    floor (0.501972198486328 × 131072)
    floor (65794.5)     		ty = 65794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65790 / 65794 ti = "17/65790/65794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65790/65794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65790 ÷ 217
    65790 ÷ 131072     		x = 0.501937866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65794 ÷ 217
    65794 ÷ 131072     		y = 0.501968383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501937866210938 × 2 - 1) × π
    0.003875732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01217597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501968383789062 × 2 - 1) × π
    -0.003936767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0123677201019745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01217597} λ = 0.01217597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0123677201019745))-π/2
    2×atan(0.987708445825308)-π/2
    2×0.779214460988154-π/2
    1.55842892197631-1.57079632675     		φ = -0.01236740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01217597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.697632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01236740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.708600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65790 KachelY 65794 0.01217597 -0.01236740 0.697632 -0.708600
    Oben rechts KachelX + 1 65791 KachelY 65794 0.01222391 -0.01236740 0.700378 -0.708600
    Unten links KachelX 65790 KachelY + 1 65795 0.01217597 -0.01241534 0.697632 -0.711347
    Unten rechts KachelX + 1 65791 KachelY + 1 65795 0.01222391 -0.01241534 0.700378 -0.711347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01236740--0.01241534) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01236740--0.01241534) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01217597-0.01222391) × cos(-0.01236740) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999923524683386 × 6371000     		do = 305.40238246983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01217597-0.01222391) × cos(-0.01241534) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.99992293065631 × 6371000     		du = 305.402201038671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01236740)-sin(-0.01241534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999923524683386-0.99992293065631)×R²
    abs(0.01222391-0.01217597)×5.94027075639936e-07×R²
    4.79399999999998e-05×5.94027075639936e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×5.94027075639936e-07×40589641000000     		ar = 93277.7209746017m²