Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65792 / 65792
↖ ↑ ↗
← S  0.703107°
E  0.703125°		 ← 305.34 m → S  0.703107°
E  0.705871°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.705854°
E  0.703125°		 ← 305.34 m →
93 239 m²		 S  0.705854°
E  0.705871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501956939697266 y=0.501956939697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501956939697266 × 217)
    floor (0.501956939697266 × 131072)
    floor (65792.5)     		tx = 65792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501956939697266 × 217)
    floor (0.501956939697266 × 131072)
    floor (65792.5)     		ty = 65792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65792 / 65792 ti = "17/65792/65792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65792/65792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65792 ÷ 217
    65792 ÷ 131072     		x = 0.501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65792 ÷ 217
    65792 ÷ 131072     		y = 0.501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501953125 × 2 - 1) × π
    0.00390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01227185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501953125 × 2 - 1) × π
    -0.00390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0122718463027344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01227185} λ = 0.01227185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0122718463027344))-π/2
    2×atan(0.987803145726098)-π/2
    2×0.779262394250125-π/2
    1.55852478850025-1.57079632675     		φ = -0.01227154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01227185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01227154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.703107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65792 KachelY 65792 0.01227185 -0.01227154 0.703125 -0.703107
    Oben rechts KachelX + 1 65793 KachelY 65792 0.01231978 -0.01227154 0.705871 -0.703107
    Unten links KachelX 65792 KachelY + 1 65793 0.01227185 -0.01231947 0.703125 -0.705854
    Unten rechts KachelX + 1 65793 KachelY + 1 65793 0.01231978 -0.01231947 0.705871 -0.705854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01227154--0.01231947) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01227154--0.01231947) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01227185-0.01231978) × cos(-0.01227154) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.999924705597908 × 6371000     		do = 305.339037948528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01227185-0.01231978) × cos(-0.01231947) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.999924116289202 × 6371000     		du = 305.338857996026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01227154)-sin(-0.01231947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999924705597908-0.999924116289202)×R²
    abs(0.01231978-0.01227185)×5.89308705833957e-07×R²
    4.79299999999998e-05×5.89308705833957e-07×6371000²
    4.79299999999998e-05×5.89308705833957e-07×40589641000000     		ar = 93238.9210087309m²