Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65799 / 65801
↖ ↑ ↗
← S  0.727825°
E  0.722351°		 ← 305.40 m → S  0.727825°
E  0.725098°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.730571°
E  0.722351°		 ← 305.40 m →
93 258 m²		 S  0.730571°
E  0.725098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502010345458984 y=0.502025604248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502010345458984 × 217)
    floor (0.502010345458984 × 131072)
    floor (65799.5)     		tx = 65799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502025604248047 × 217)
    floor (0.502025604248047 × 131072)
    floor (65801.5)     		ty = 65801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65799 / 65801 ti = "17/65799/65801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65799/65801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65799 ÷ 217
    65799 ÷ 131072     		x = 0.502006530761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65801 ÷ 217
    65801 ÷ 131072     		y = 0.502021789550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502006530761719 × 2 - 1) × π
    0.0040130615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01260740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502021789550781 × 2 - 1) × π
    -0.0040435791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0127032783993149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01260740} λ = 0.01260740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0127032783993149))-π/2
    2×atan(0.987377067662414)-π/2
    2×0.77904669502171-π/2
    1.55809339004342-1.57079632675     		φ = -0.01270294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01260740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.722351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01270294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.727825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65799 KachelY 65801 0.01260740 -0.01270294 0.722351 -0.727825
    Oben rechts KachelX + 1 65800 KachelY 65801 0.01265534 -0.01270294 0.725098 -0.727825
    Unten links KachelX 65799 KachelY + 1 65802 0.01260740 -0.01275087 0.722351 -0.730571
    Unten rechts KachelX + 1 65800 KachelY + 1 65802 0.01265534 -0.01275087 0.725098 -0.730571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01270294--0.01275087) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01270294--0.01275087) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01260740-0.01265534) × cos(-0.01270294) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999919318742612 × 6371000     		do = 305.401097867257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01260740-0.01265534) × cos(-0.01275087) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999918708758523 × 6371000     		du = 305.400911562415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01270294)-sin(-0.01275087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999919318742612-0.999918708758523)×R²
    abs(0.01265534-0.01260740)×6.09984089350313e-07×R²
    4.79399999999998e-05×6.09984089350313e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×6.09984089350313e-07×40589641000000     		ar = 93257.8707816167m²