Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 658 / 150
↖ ↑ ↗
← N 77.617709°
E 51.328125°		 ← 8 382.62 m → N 77.617709°
E 51.679687°		 →
↑
8 407.81 m
↓
↑
8 407.81 m
↓
N 77.542096°
E 51.328125°		 ← 8 433 m →
70 691 285 m²		 N 77.542096°
E 51.679687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64306640625 y=0.14697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64306640625 × 210)
    floor (0.64306640625 × 1024)
    floor (658.5)     		tx = 658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14697265625 × 210)
    floor (0.14697265625 × 1024)
    floor (150.5)     		ty = 150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 658 / 150 ti = "10/658/150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/658/150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 658 ÷ 210
    658 ÷ 1024     		x = 0.642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 150 ÷ 210
    150 ÷ 1024     		y = 0.146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.642578125 × 2 - 1) × π
    0.28515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.89584478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146484375 × 2 - 1) × π
    0.70703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22120418079492
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89584478} λ = 0.89584478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22120418079492))-π/2
    2×atan(9.21842483511521)-π/2
    2×1.4627404538038-π/2
    2.9254809076076-1.57079632675     		φ = 1.35468458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89584478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35468458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.617709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 658 KachelY 150 0.89584478 1.35468458 51.328125 77.617709
    Oben rechts KachelX + 1 659 KachelY 150 0.90198070 1.35468458 51.679687 77.617709
    Unten links KachelX 658 KachelY + 1 151 0.89584478 1.35336488 51.328125 77.542096
    Unten rechts KachelX + 1 659 KachelY + 1 151 0.90198070 1.35336488 51.679687 77.542096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35468458-1.35336488) × R
    0.00131970000000003 × 6371000     		dl = 8407.80870000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35468458-1.35336488) × R
    0.00131970000000003 × 6371000     		dr = 8407.80870000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89584478-0.90198070) × cos(1.35468458) × R
    0.00613591999999996 × 0.214433446605324 × 6371000     		do = 8382.62078390788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89584478-0.90198070) × cos(1.35336488) × R
    0.00613591999999996 × 0.215722261434972 × 6371000     		du = 8433.00306404488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35468458)-sin(1.35336488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214433446605324-0.215722261434972)×R²
    abs(0.90198070-0.89584478)×0.00128881482964757×R²
    0.00613591999999996×0.00128881482964757×6371000²
    0.00613591999999996×0.00128881482964757×40589641000000     		ar = 70691284.5020872m²