Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65800 / 65816
↖ ↑ ↗
← S  0.769020°
E  0.725098°		 ← 305.40 m → S  0.769020°
E  0.727844°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.771766°
E  0.725098°		 ← 305.40 m →
93 257 m²		 S  0.771766°
E  0.727844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502017974853516 y=0.502140045166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502017974853516 × 217)
    floor (0.502017974853516 × 131072)
    floor (65800.5)     		tx = 65800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502140045166016 × 217)
    floor (0.502140045166016 × 131072)
    floor (65816.5)     		ty = 65816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65800 / 65816 ti = "17/65800/65816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65800/65816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65800 ÷ 217
    65800 ÷ 131072     		x = 0.50201416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65816 ÷ 217
    65816 ÷ 131072     		y = 0.50213623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50201416015625 × 2 - 1) × π
    0.0040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01265534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50213623046875 × 2 - 1) × π
    -0.0042724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0134223318936157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01265534} λ = 0.01265534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0134223318936157))-π/2
    2×atan(0.986667345926245)-π/2
    2×0.778687198954382-π/2
    1.55737439790876-1.57079632675     		φ = -0.01342193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01265534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.725098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01342193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.769020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65800 KachelY 65816 0.01265534 -0.01342193 0.725098 -0.769020
    Oben rechts KachelX + 1 65801 KachelY 65816 0.01270328 -0.01342193 0.727844 -0.769020
    Unten links KachelX 65800 KachelY + 1 65817 0.01265534 -0.01346986 0.725098 -0.771766
    Unten rechts KachelX + 1 65801 KachelY + 1 65817 0.01270328 -0.01346986 0.727844 -0.771766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01342193--0.01346986) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01342193--0.01346986) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01265534-0.01270328) × cos(-0.01342193) × R
    4.79400000000015e-05 × 0.999909927249753 × 6371000     		do = 305.398229463612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01265534-0.01270328) × cos(-0.01346986) × R
    4.79400000000015e-05 × 0.999909282807425 × 6371000     		du = 305.398032634337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01342193)-sin(-0.01346986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999909927249753-0.999909282807425)×R²
    abs(0.01270328-0.01265534)×6.44442328612271e-07×R²
    4.79400000000015e-05×6.44442328612271e-07×6371000²
    4.79400000000015e-05×6.44442328612271e-07×40589641000000     		ar = 93256.9932731738m²