Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65808 / 65808
↖ ↑ ↗
← S  0.747049°
E  0.747071°		 ← 305.34 m → S  0.747049°
E  0.749817°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.749795°
E  0.747071°		 ← 305.34 m →
93 238 m²		 S  0.749795°
E  0.749817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502079010009766 y=0.502079010009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502079010009766 × 217)
    floor (0.502079010009766 × 131072)
    floor (65808.5)     		tx = 65808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502079010009766 × 217)
    floor (0.502079010009766 × 131072)
    floor (65808.5)     		ty = 65808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65808 / 65808 ti = "17/65808/65808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65808/65808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65808 ÷ 217
    65808 ÷ 131072     		x = 0.5020751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65808 ÷ 217
    65808 ÷ 131072     		y = 0.5020751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5020751953125 × 2 - 1) × π
    0.004150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01303884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5020751953125 × 2 - 1) × π
    -0.004150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0130388366966553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01303884} λ = 0.01303884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0130388366966553))-π/2
    2×atan(0.987045800677557)-π/2
    2×0.77887892977036-π/2
    1.55775785954072-1.57079632675     		φ = -0.01303847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01303884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.747071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01303847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.747049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65808 KachelY 65808 0.01303884 -0.01303847 0.747071 -0.747049
    Oben rechts KachelX + 1 65809 KachelY 65808 0.01308677 -0.01303847 0.749817 -0.747049
    Unten links KachelX 65808 KachelY + 1 65809 0.01303884 -0.01308640 0.747071 -0.749795
    Unten rechts KachelX + 1 65809 KachelY + 1 65809 0.01308677 -0.01308640 0.749817 -0.749795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01303847--0.01308640) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01303847--0.01308640) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01303884-0.01308677) × cos(-0.01303847) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.999915000354213 × 6371000     		do = 305.336074335612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01303884-0.01308677) × cos(-0.01308640) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.999914374289508 × 6371000     		du = 305.335883159223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01303847)-sin(-0.01308640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999915000354213-0.999914374289508)×R²
    abs(0.01308677-0.01303884)×6.26064705189222e-07×R²
    4.79299999999998e-05×6.26064705189222e-07×6371000²
    4.79299999999998e-05×6.26064705189222e-07×40589641000000     		ar = 93238.0143201978m²