Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65848 / 65880
↖ ↑ ↗
← S  0.944782°
E  0.856933°		 ← 305.38 m → S  0.944782°
E  0.859680°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.947528°
E  0.856933°		 ← 305.38 m →
93 253 m²		 S  0.947528°
E  0.859680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502384185791016 y=0.502628326416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502384185791016 × 217)
    floor (0.502384185791016 × 131072)
    floor (65848.5)     		tx = 65848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502628326416016 × 217)
    floor (0.502628326416016 × 131072)
    floor (65880.5)     		ty = 65880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65848 / 65880 ti = "17/65848/65880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65848/65880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65848 ÷ 217
    65848 ÷ 131072     		x = 0.50238037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65880 ÷ 217
    65880 ÷ 131072     		y = 0.50262451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50238037109375 × 2 - 1) × π
    0.0047607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01495631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50262451171875 × 2 - 1) × π
    -0.0052490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0164902934692993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01495631} λ = 0.01495631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0164902934692993))-π/2
    2×atan(0.983644927124018)-π/2
    2×0.777153390320885-π/2
    1.55430678064177-1.57079632675     		φ = -0.01648955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01495631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.856933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01648955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.944782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65848 KachelY 65880 0.01495631 -0.01648955 0.856933 -0.944782
    Oben rechts KachelX + 1 65849 KachelY 65880 0.01500425 -0.01648955 0.859680 -0.944782
    Unten links KachelX 65848 KachelY + 1 65881 0.01495631 -0.01653748 0.856933 -0.947528
    Unten rechts KachelX + 1 65849 KachelY + 1 65881 0.01500425 -0.01653748 0.859680 -0.947528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01648955--0.01653748) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01648955--0.01653748) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01495631-0.01500425) × cos(-0.01648955) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.99986405045089 × 6371000     		do = 305.384217508359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01495631-0.01500425) × cos(-0.01653748) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999863258994089 × 6371000     		du = 305.38397577708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01648955)-sin(-0.01653748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99986405045089-0.999863258994089)×R²
    abs(0.01500425-0.01495631)×7.91456801541024e-07×R²
    4.79399999999998e-05×7.91456801541024e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×7.91456801541024e-07×40589641000000     		ar = 93252.7076983925m²