Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65856 / 65855
↖ ↑ ↗
← S  0.876125°
E  0.878906°		 ← 305.33 m → S  0.876125°
E  0.881653°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.878872°
E  0.878906°		 ← 305.33 m →
93 254 m²		 S  0.878872°
E  0.881653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502445220947266 y=0.502437591552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502445220947266 × 217)
    floor (0.502445220947266 × 131072)
    floor (65856.5)     		tx = 65856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502437591552734 × 217)
    floor (0.502437591552734 × 131072)
    floor (65855.5)     		ty = 65855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65856 / 65855 ti = "17/65856/65855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65856/65855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65856 ÷ 217
    65856 ÷ 131072     		x = 0.50244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65855 ÷ 217
    65855 ÷ 131072     		y = 0.502433776855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50244140625 × 2 - 1) × π
    0.0048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01533981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502433776855469 × 2 - 1) × π
    -0.0048675537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0152918709787979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01533981} λ = 0.01533981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0152918709787979))-π/2
    2×atan(0.98482445597313)-π/2
    2×0.777752525879902-π/2
    1.5555050517598-1.57079632675     		φ = -0.01529127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01533981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01529127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.876125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65856 KachelY 65855 0.01533981 -0.01529127 0.878906 -0.876125
    Oben rechts KachelX + 1 65857 KachelY 65855 0.01538774 -0.01529127 0.881653 -0.876125
    Unten links KachelX 65856 KachelY + 1 65856 0.01533981 -0.01533921 0.878906 -0.878872
    Unten rechts KachelX + 1 65857 KachelY + 1 65856 0.01538774 -0.01533921 0.881653 -0.878872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01529127--0.01533921) × R
    4.79400000000015e-05 × 6371000     		dl = 305.42574000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01529127--0.01533921) × R
    4.79400000000015e-05 × 6371000     		dr = 305.42574000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01533981-0.01538774) × cos(-0.01529127) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.999883090808924 × 6371000     		do = 305.326330372086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01533981-0.01538774) × cos(-0.01533921) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.999882356625021 × 6371000     		du = 305.326106180199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01529127)-sin(-0.01533921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999883090808924-0.999882356625021)×R²
    abs(0.01538774-0.01533981)×7.34183903450258e-07×R²
    4.79299999999998e-05×7.34183903450258e-07×6371000²
    4.79299999999998e-05×7.34183903450258e-07×40589641000000     		ar = 93254.4861762548m²