Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65860 / 65988
↖ ↑ ↗
← S  1.241358°
E  0.889893°		 ← 305.29 m → S  1.241358°
E  0.892639°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.244104°
E  0.889893°		 ← 305.29 m →
93 224 m²		 S  1.244104°
E  0.892639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502475738525391 y=0.503452301025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502475738525391 × 217)
    floor (0.502475738525391 × 131072)
    floor (65860.5)     		tx = 65860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503452301025391 × 217)
    floor (0.503452301025391 × 131072)
    floor (65988.5)     		ty = 65988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65860 / 65988 ti = "17/65860/65988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65860/65988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65860 ÷ 217
    65860 ÷ 131072     		x = 0.502471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65988 ÷ 217
    65988 ÷ 131072     		y = 0.503448486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502471923828125 × 2 - 1) × π
    0.00494384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01553156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503448486328125 × 2 - 1) × π
    -0.00689697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0216674786282654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01553156} λ = 0.01553156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0216674786282654))-π/2
    2×atan(0.978565574924288)-π/2
    2×0.774565271687155-π/2
    1.54913054337431-1.57079632675     		φ = -0.02166578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01553156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.889893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02166578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.241358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65860 KachelY 65988 0.01553156 -0.02166578 0.889893 -1.241358
    Oben rechts KachelX + 1 65861 KachelY 65988 0.01557949 -0.02166578 0.892639 -1.241358
    Unten links KachelX 65860 KachelY + 1 65989 0.01553156 -0.02171371 0.889893 -1.244104
    Unten rechts KachelX + 1 65861 KachelY + 1 65989 0.01557949 -0.02171371 0.892639 -1.244104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02166578--0.02171371) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02166578--0.02171371) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01553156-0.01557949) × cos(-0.02166578) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.999765306169269 × 6371000     		do = 305.290363415419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01553156-0.01557949) × cos(-0.02171371) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.999764266661301 × 6371000     		du = 305.290045989155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02166578)-sin(-0.02171371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999765306169269-0.999764266661301)×R²
    abs(0.01557949-0.01553156)×1.03950796803698e-06×R²
    4.79299999999998e-05×1.03950796803698e-06×6371000²
    4.79299999999998e-05×1.03950796803698e-06×40589641000000     		ar = 93224.0366648613m²