Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65862 / 65862
↖ ↑ ↗
← S  0.895349°
E  0.895386°		 ← 305.39 m → S  0.895349°
E  0.898133°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.898095°
E  0.895386°		 ← 305.39 m →
93 254 m²		 S  0.898095°
E  0.898133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502490997314453 y=0.502490997314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502490997314453 × 217)
    floor (0.502490997314453 × 131072)
    floor (65862.5)     		tx = 65862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502490997314453 × 217)
    floor (0.502490997314453 × 131072)
    floor (65862.5)     		ty = 65862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65862 / 65862 ti = "17/65862/65862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65862/65862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65862 ÷ 217
    65862 ÷ 131072     		x = 0.502487182617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65862 ÷ 217
    65862 ÷ 131072     		y = 0.502487182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502487182617188 × 2 - 1) × π
    0.004974365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01562743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502487182617188 × 2 - 1) × π
    -0.004974365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0156274292761383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01562743} λ = 0.01562743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0156274292761383))-π/2
    2×atan(0.984494045394611)-π/2
    2×0.777584766779696-π/2
    1.55516953355939-1.57079632675     		φ = -0.01562679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01562743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.895386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01562679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.895349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65862 KachelY 65862 0.01562743 -0.01562679 0.895386 -0.895349
    Oben rechts KachelX + 1 65863 KachelY 65862 0.01567537 -0.01562679 0.898133 -0.895349
    Unten links KachelX 65862 KachelY + 1 65863 0.01562743 -0.01567472 0.895386 -0.898095
    Unten rechts KachelX + 1 65863 KachelY + 1 65863 0.01567537 -0.01567472 0.898133 -0.898095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01562679--0.01567472) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01562679--0.01567472) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01562743-0.01567537) × cos(-0.01562679) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999877904201793 × 6371000     		do = 305.38844880048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01562743-0.01567537) × cos(-0.01567472) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999877154091729 × 6371000     		du = 305.388219697559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01562679)-sin(-0.01567472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999877904201793-0.999877154091729)×R²
    abs(0.01567537-0.01562743)×7.50110063396647e-07×R²
    4.79399999999998e-05×7.50110063396647e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×7.50110063396647e-07×40589641000000     		ar = 93254.001702447m²