Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65864 / 65848
↖ ↑ ↗
← S  0.856902°
E  0.900879°		 ← 305.39 m → S  0.856902°
E  0.903625°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.859648°
E  0.900879°		 ← 305.39 m →
93 255 m²		 S  0.859648°
E  0.903625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502506256103516 y=0.502384185791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502506256103516 × 217)
    floor (0.502506256103516 × 131072)
    floor (65864.5)     		tx = 65864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502384185791016 × 217)
    floor (0.502384185791016 × 131072)
    floor (65848.5)     		ty = 65848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65864 / 65848 ti = "17/65864/65848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65864/65848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65864 ÷ 217
    65864 ÷ 131072     		x = 0.50250244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65848 ÷ 217
    65848 ÷ 131072     		y = 0.50238037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50250244140625 × 2 - 1) × π
    0.0050048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01572330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50238037109375 × 2 - 1) × π
    -0.0047607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0149563126814575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01572330} λ = 0.01572330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0149563126814575))-π/2
    2×atan(0.985154977442265)-π/2
    2×0.777920285840868-π/2
    1.55584057168174-1.57079632675     		φ = -0.01495576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01572330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.900879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01495576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.856902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65864 KachelY 65848 0.01572330 -0.01495576 0.900879 -0.856902
    Oben rechts KachelX + 1 65865 KachelY 65848 0.01577124 -0.01495576 0.903625 -0.856902
    Unten links KachelX 65864 KachelY + 1 65849 0.01572330 -0.01500369 0.900879 -0.859648
    Unten rechts KachelX + 1 65865 KachelY + 1 65849 0.01577124 -0.01500369 0.903625 -0.859648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01495576--0.01500369) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01495576--0.01500369) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01572330-0.01577124) × cos(-0.01495576) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999888164705996 × 6371000     		do = 305.391582622569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01572330-0.01577124) × cos(-0.01500369) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999887446754627 × 6371000     		du = 305.391363341741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01495576)-sin(-0.01500369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999888164705996-0.999887446754627)×R²
    abs(0.01577124-0.01572330)×7.17951368023328e-07×R²
    4.79399999999998e-05×7.17951368023328e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×7.17951368023328e-07×40589641000000     		ar = 93254.960152373m²