Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65864 / 65992
↖ ↑ ↗
← S  1.252342°
E  0.900879°		 ← 305.35 m → S  1.252342°
E  0.903625°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.255088°
E  0.900879°		 ← 305.35 m →
93 224 m²		 S  1.255088°
E  0.903625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502506256103516 y=0.503482818603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502506256103516 × 217)
    floor (0.502506256103516 × 131072)
    floor (65864.5)     		tx = 65864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503482818603516 × 217)
    floor (0.503482818603516 × 131072)
    floor (65992.5)     		ty = 65992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65864 / 65992 ti = "17/65864/65992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65864/65992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65864 ÷ 217
    65864 ÷ 131072     		x = 0.50250244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65992 ÷ 217
    65992 ÷ 131072     		y = 0.50347900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50250244140625 × 2 - 1) × π
    0.0050048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01572330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50347900390625 × 2 - 1) × π
    -0.0069580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0218592262267456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01572330} λ = 0.01572330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0218592262267456))-π/2
    2×atan(0.978377955313721)-π/2
    2×0.774469420588583-π/2
    1.54893884117717-1.57079632675     		φ = -0.02185749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01572330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.900879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02185749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.252342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65864 KachelY 65992 0.01572330 -0.02185749 0.900879 -1.252342
    Oben rechts KachelX + 1 65865 KachelY 65992 0.01577124 -0.02185749 0.903625 -1.252342
    Unten links KachelX 65864 KachelY + 1 65993 0.01572330 -0.02190541 0.900879 -1.255088
    Unten rechts KachelX + 1 65865 KachelY + 1 65993 0.01577124 -0.02190541 0.903625 -1.255088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02185749--0.02190541) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02185749--0.02190541) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01572330-0.01577124) × cos(-0.02185749) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999761134575504 × 6371000     		do = 305.352784350962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01572330-0.01577124) × cos(-0.02190541) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999760086100093 × 6371000     		du = 305.352464119583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02185749)-sin(-0.02190541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999761134575504-0.999760086100093)×R²
    abs(0.01577124-0.01572330)×1.0484754112694e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.0484754112694e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.0484754112694e-06×40589641000000     		ar = 93223.6432044534m²