Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65866 / 65866
↖ ↑ ↗
← S  0.906334°
E  0.906372°		 ← 305.32 m → S  0.906334°
E  0.909118°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.909081°
E  0.906372°		 ← 305.32 m →
93 234 m²		 S  0.909081°
E  0.909118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502521514892578 y=0.502521514892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502521514892578 × 217)
    floor (0.502521514892578 × 131072)
    floor (65866.5)     		tx = 65866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502521514892578 × 217)
    floor (0.502521514892578 × 131072)
    floor (65866.5)     		ty = 65866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65866 / 65866 ti = "17/65866/65866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65866/65866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65866 ÷ 217
    65866 ÷ 131072     		x = 0.502517700195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65866 ÷ 217
    65866 ÷ 131072     		y = 0.502517700195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502517700195312 × 2 - 1) × π
    0.005035400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01581918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502517700195312 × 2 - 1) × π
    -0.005035400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0158191768746185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01581918} λ = 0.01581918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0158191768746185))-π/2
    2×atan(0.984305289123047)-π/2
    2×0.777488904830451-π/2
    1.5549778096609-1.57079632675     		φ = -0.01581852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01581918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.906372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01581852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.906334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65866 KachelY 65866 0.01581918 -0.01581852 0.906372 -0.906334
    Oben rechts KachelX + 1 65867 KachelY 65866 0.01586711 -0.01581852 0.909118 -0.906334
    Unten links KachelX 65866 KachelY + 1 65867 0.01581918 -0.01586645 0.906372 -0.909081
    Unten rechts KachelX + 1 65867 KachelY + 1 65867 0.01586711 -0.01586645 0.909118 -0.909081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01581852--0.01586645) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01581852--0.01586645) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01581918-0.01586711) × cos(-0.01581852) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999874889821351 × 6371000     		do = 305.323826101884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01581918-0.01586711) × cos(-0.01586645) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999874130522808 × 6371000     		du = 305.32359424094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01581852)-sin(-0.01586645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999874889821351-0.999874130522808)×R²
    abs(0.01586711-0.01581918)×7.59298543040465e-07×R²
    4.79300000000016e-05×7.59298543040465e-07×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.59298543040465e-07×40589641000000     		ar = 93234.2679629233m²