Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 659 / 149
↖ ↑ ↗
← N 77.692870°
E 51.679687°		 ← 8 332.54 m → N 77.692870°
E 52.031250°		 →
↑
8 357.54 m
↓
↑
8 357.54 m
↓
N 77.617709°
E 51.679687°		 ← 8 382.63 m →
69 848 887 m²		 N 77.617709°
E 52.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64404296875 y=0.14599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64404296875 × 210)
    floor (0.64404296875 × 1024)
    floor (659.5)     		tx = 659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14599609375 × 210)
    floor (0.14599609375 × 1024)
    floor (149.5)     		ty = 149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 659 / 149 ti = "10/659/149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/659/149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 659 ÷ 210
    659 ÷ 1024     		x = 0.6435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 149 ÷ 210
    149 ÷ 1024     		y = 0.1455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6435546875 × 2 - 1) × π
    0.287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90198070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1455078125 × 2 - 1) × π
    0.708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22734010394629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90198070} λ = 0.90198070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22734010394629))-π/2
    2×atan(9.27516227174414)-π/2
    2×1.46339635973844-π/2
    2.92679271947688-1.57079632675     		φ = 1.35599639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90198070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.679687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35599639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.692870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 659 KachelY 149 0.90198070 1.35599639 51.679687 77.692870
    Oben rechts KachelX + 1 660 KachelY 149 0.90811663 1.35599639 52.031250 77.692870
    Unten links KachelX 659 KachelY + 1 150 0.90198070 1.35468458 51.679687 77.617709
    Unten rechts KachelX + 1 660 KachelY + 1 150 0.90811663 1.35468458 52.031250 77.617709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35599639-1.35468458) × R
    0.00131181000000002 × 6371000     		dl = 8357.54151000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35599639-1.35468458) × R
    0.00131181000000002 × 6371000     		dr = 8357.54151000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90198070-0.90811663) × cos(1.35599639) × R
    0.00613593000000001 × 0.213151967003705 × 6371000     		do = 8332.53883202307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90198070-0.90811663) × cos(1.35468458) × R
    0.00613593000000001 × 0.214433446605324 × 6371000     		du = 8382.63444546283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35599639)-sin(1.35468458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213151967003705-0.214433446605324)×R²
    abs(0.90811663-0.90198070)×0.00128147960161956×R²
    0.00613593000000001×0.00128147960161956×6371000²
    0.00613593000000001×0.00128147960161956×40589641000000     		ar = 69848887.2733052m²