Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65920 / 65920
↖ ↑ ↗
← S  1.054628°
E  1.054688°		 ← 305.37 m → S  1.054628°
E  1.057434°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.057374°
E  1.054688°		 ← 305.37 m →
93 250 m²		 S  1.057374°
E  1.057434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502933502197266 y=0.502933502197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502933502197266 × 217)
    floor (0.502933502197266 × 131072)
    floor (65920.5)     		tx = 65920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502933502197266 × 217)
    floor (0.502933502197266 × 131072)
    floor (65920.5)     		ty = 65920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65920 / 65920 ti = "17/65920/65920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65920/65920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65920 ÷ 217
    65920 ÷ 131072     		x = 0.5029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65920 ÷ 217
    65920 ÷ 131072     		y = 0.5029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5029296875 × 2 - 1) × π
    0.005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01840777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5029296875 × 2 - 1) × π
    -0.005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0184077694541016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01840777} λ = 0.01840777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0184077694541016))-π/2
    2×atan(0.981760618734067)-π/2
    2×0.776194798409588-π/2
    1.55238959681918-1.57079632675     		φ = -0.01840673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01840777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01840673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.054628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65920 KachelY 65920 0.01840777 -0.01840673 1.054688 -1.054628
    Oben rechts KachelX + 1 65921 KachelY 65920 0.01845571 -0.01840673 1.057434 -1.054628
    Unten links KachelX 65920 KachelY + 1 65921 0.01840777 -0.01845466 1.054688 -1.057374
    Unten rechts KachelX + 1 65921 KachelY + 1 65921 0.01845571 -0.01845466 1.057434 -1.057374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01840673--0.01845466) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01840673--0.01845466) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01840777-0.01845571) × cos(-0.01840673) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999830600928244 × 6371000     		do = 305.374001163152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01840777-0.01845571) × cos(-0.01845466) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999829717595045 × 6371000     		du = 305.373731370456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01840673)-sin(-0.01845466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999830600928244-0.999829717595045)×R²
    abs(0.01845571-0.01840777)×8.83333199253045e-07×R²
    4.79399999999998e-05×8.83333199253045e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×8.83333199253045e-07×40589641000000     		ar = 93249.5837300335m²