Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65922 / 65918
↖ ↑ ↗
← S  1.049136°
E  1.060180°		 ← 305.37 m → S  1.049136°
E  1.062927°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.051882°
E  1.060180°		 ← 305.37 m →
93 250 m²		 S  1.051882°
E  1.062927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502948760986328 y=0.502918243408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502948760986328 × 217)
    floor (0.502948760986328 × 131072)
    floor (65922.5)     		tx = 65922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502918243408203 × 217)
    floor (0.502918243408203 × 131072)
    floor (65918.5)     		ty = 65918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65922 / 65918 ti = "17/65922/65918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65922/65918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65922 ÷ 217
    65922 ÷ 131072     		x = 0.502944946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65918 ÷ 217
    65918 ÷ 131072     		y = 0.502914428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502944946289062 × 2 - 1) × π
    0.005889892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01850364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502914428710938 × 2 - 1) × π
    -0.005828857421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0183118956548615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01850364} λ = 0.01850364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0183118956548615))-π/2
    2×atan(0.98185474836674)-π/2
    2×0.776242727230956-π/2
    1.55248545446191-1.57079632675     		φ = -0.01831087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01850364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.060180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01831087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.049136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65922 KachelY 65918 0.01850364 -0.01831087 1.060180 -1.049136
    Oben rechts KachelX + 1 65923 KachelY 65918 0.01855158 -0.01831087 1.062927 -1.049136
    Unten links KachelX 65922 KachelY + 1 65919 0.01850364 -0.01835880 1.060180 -1.051882
    Unten rechts KachelX + 1 65923 KachelY + 1 65919 0.01855158 -0.01835880 1.062927 -1.051882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01831087--0.01835880) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01831087--0.01835880) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01850364-0.01855158) × cos(-0.01831087) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.999832360703953 × 6371000     		do = 305.374538643973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01850364-0.01855158) × cos(-0.01835880) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.999831481964547 × 6371000     		du = 305.374270254339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01831087)-sin(-0.01835880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999832360703953-0.999831481964547)×R²
    abs(0.01855158-0.01850364)×8.78739405796303e-07×R²
    4.79400000000033e-05×8.78739405796303e-07×6371000²
    4.79400000000033e-05×8.78739405796303e-07×40589641000000     		ar = 93249.748070489m²