Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65925 / 65925
↖ ↑ ↗
← S  1.068358°
E  1.068420°		 ← 305.37 m → S  1.068358°
E  1.071167°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.071104°
E  1.068420°		 ← 305.37 m →
93 249 m²		 S  1.071104°
E  1.071167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502971649169922 y=0.502971649169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502971649169922 × 217)
    floor (0.502971649169922 × 131072)
    floor (65925.5)     		tx = 65925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502971649169922 × 217)
    floor (0.502971649169922 × 131072)
    floor (65925.5)     		ty = 65925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65925 / 65925 ti = "17/65925/65925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65925/65925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65925 ÷ 217
    65925 ÷ 131072     		x = 0.502967834472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65925 ÷ 217
    65925 ÷ 131072     		y = 0.502967834472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502967834472656 × 2 - 1) × π
    0.0059356689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01864745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502967834472656 × 2 - 1) × π
    -0.0059356689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0186474539522018
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01864745} λ = 0.01864745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0186474539522018))-π/2
    2×atan(0.981525334131073)-π/2
    2×0.776074976727151-π/2
    1.5521499534543-1.57079632675     		φ = -0.01864637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01864745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.068420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01864637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.068358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65925 KachelY 65925 0.01864745 -0.01864637 1.068420 -1.068358
    Oben rechts KachelX + 1 65926 KachelY 65925 0.01869539 -0.01864637 1.071167 -1.068358
    Unten links KachelX 65925 KachelY + 1 65926 0.01864745 -0.01869430 1.068420 -1.071104
    Unten rechts KachelX + 1 65926 KachelY + 1 65926 0.01869539 -0.01869430 1.071167 -1.071104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01864637--0.01869430) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01864637--0.01869430) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01864745-0.01869539) × cos(-0.01864637) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999826161479784 × 6371000     		do = 305.372645241321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01864745-0.01869539) × cos(-0.01869430) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999825266662615 × 6371000     		du = 305.372371941125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01864637)-sin(-0.01869430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999826161479784-0.999825266662615)×R²
    abs(0.01869539-0.01864745)×8.94817168251016e-07×R²
    4.79399999999998e-05×8.94817168251016e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×8.94817168251016e-07×40589641000000     		ar = 93249.169147463m²