Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65953 / 65951
↖ ↑ ↗
← S  1.139756°
E  1.145325°		 ← 305.30 m → S  1.139756°
E  1.148071°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.142502°
E  1.145325°		 ← 305.30 m →
93 227 m²		 S  1.142502°
E  1.148071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503185272216797 y=0.503170013427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503185272216797 × 217)
    floor (0.503185272216797 × 131072)
    floor (65953.5)     		tx = 65953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503170013427734 × 217)
    floor (0.503170013427734 × 131072)
    floor (65951.5)     		ty = 65951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65953 / 65951 ti = "17/65953/65951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65953/65951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65953 ÷ 217
    65953 ÷ 131072     		x = 0.503181457519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65951 ÷ 217
    65951 ÷ 131072     		y = 0.503166198730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503181457519531 × 2 - 1) × π
    0.0063629150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01998969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503166198730469 × 2 - 1) × π
    -0.0063323974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0198938133423233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01998969} λ = 0.01998969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0198938133423233))-π/2
    2×atan(0.980302762854096)-π/2
    2×0.775451912765658-π/2
    1.55090382553132-1.57079632675     		φ = -0.01989250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01998969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.145325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01989250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.139756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65953 KachelY 65951 0.01998969 -0.01989250 1.145325 -1.139756
    Oben rechts KachelX + 1 65954 KachelY 65951 0.02003762 -0.01989250 1.148071 -1.139756
    Unten links KachelX 65953 KachelY + 1 65952 0.01998969 -0.01994043 1.145325 -1.142502
    Unten rechts KachelX + 1 65954 KachelY + 1 65952 0.02003762 -0.01994043 1.148071 -1.142502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01989250--0.01994043) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01989250--0.01994043) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01998969-0.02003762) × cos(-0.01989250) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.999802150746274 × 6371000     		do = 305.301614350236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01998969-0.02003762) × cos(-0.01994043) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.999801196213214 × 6371000     		du = 305.301322872083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01989250)-sin(-0.01994043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999802150746274-0.999801196213214)×R²
    abs(0.02003762-0.01998969)×9.54533059371876e-07×R²
    4.79299999999981e-05×9.54533059371876e-07×6371000²
    4.79299999999981e-05×9.54533059371876e-07×40589641000000     		ar = 93227.4762349256m²