Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65954 / 65954
↖ ↑ ↗
← S  1.147994°
E  1.148071°		 ← 305.36 m → S  1.147994°
E  1.150818°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.150740°
E  1.148071°		 ← 305.36 m →
93 247 m²		 S  1.150740°
E  1.150818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503192901611328 y=0.503192901611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503192901611328 × 217)
    floor (0.503192901611328 × 131072)
    floor (65954.5)     		tx = 65954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503192901611328 × 217)
    floor (0.503192901611328 × 131072)
    floor (65954.5)     		ty = 65954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65954 / 65954 ti = "17/65954/65954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65954/65954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65954 ÷ 217
    65954 ÷ 131072     		x = 0.503189086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65954 ÷ 217
    65954 ÷ 131072     		y = 0.503189086914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503189086914062 × 2 - 1) × π
    0.006378173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02003762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503189086914062 × 2 - 1) × π
    -0.006378173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0200376240411835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02003762} λ = 0.02003762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0200376240411835))-π/2
    2×atan(0.980161794965263)-π/2
    2×0.775380021745721-π/2
    1.55076004349144-1.57079632675     		φ = -0.02003628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02003762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.148071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02003628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.147994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65954 KachelY 65954 0.02003762 -0.02003628 1.148071 -1.147994
    Oben rechts KachelX + 1 65955 KachelY 65954 0.02008556 -0.02003628 1.150818 -1.147994
    Unten links KachelX 65954 KachelY + 1 65955 0.02003762 -0.02008421 1.148071 -1.150740
    Unten rechts KachelX + 1 65955 KachelY + 1 65955 0.02008556 -0.02008421 1.150818 -1.150740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02003628--0.02008421) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02003628--0.02008421) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02003762-0.02008556) × cos(-0.02003628) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999799280456963 × 6371000     		do = 305.364435085034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02003762-0.02008556) × cos(-0.02008421) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999798319033905 × 6371000     		du = 305.364141441685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02003628)-sin(-0.02008421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999799280456963-0.999798319033905)×R²
    abs(0.02008556-0.02003762)×9.614230581656e-07×R²
    4.79399999999998e-05×9.614230581656e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×9.614230581656e-07×40589641000000     		ar = 93246.6589714637m²