Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65983 / 65985
↖ ↑ ↗
← S  1.233120°
E  1.227722°		 ← 305.36 m → S  1.233120°
E  1.230469°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.235866°
E  1.227722°		 ← 305.35 m →
93 224 m²		 S  1.235866°
E  1.230469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503414154052734 y=0.503429412841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503414154052734 × 217)
    floor (0.503414154052734 × 131072)
    floor (65983.5)     		tx = 65983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503429412841797 × 217)
    floor (0.503429412841797 × 131072)
    floor (65985.5)     		ty = 65985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65983 / 65985 ti = "17/65983/65985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65983/65985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65983 ÷ 217
    65983 ÷ 131072     		x = 0.503410339355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65985 ÷ 217
    65985 ÷ 131072     		y = 0.503425598144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503410339355469 × 2 - 1) × π
    0.0068206787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02142779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503425598144531 × 2 - 1) × π
    -0.0068511962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0215236679294052
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02142779} λ = 0.02142779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0215236679294052))-π/2
    2×atan(0.978706313243094)-π/2
    2×0.774637160272576-π/2
    1.54927432054515-1.57079632675     		φ = -0.02152201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02142779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.227722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02152201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.233120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65983 KachelY 65985 0.02142779 -0.02152201 1.227722 -1.233120
    Oben rechts KachelX + 1 65984 KachelY 65985 0.02147573 -0.02152201 1.230469 -1.233120
    Unten links KachelX 65983 KachelY + 1 65986 0.02142779 -0.02156993 1.227722 -1.235866
    Unten rechts KachelX + 1 65984 KachelY + 1 65986 0.02147573 -0.02156993 1.230469 -1.235866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02152201--0.02156993) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02152201--0.02156993) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02142779-0.02147573) × cos(-0.02152201) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999768410482283 × 6371000     		do = 305.355006600174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02142779-0.02147573) × cos(-0.02156993) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999767378079283 × 6371000     		du = 305.354691277724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02152201)-sin(-0.02156993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999768410482283-0.999767378079283)×R²
    abs(0.02147573-0.02142779)×1.03240299942353e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.03240299942353e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.03240299942353e-06×40589641000000     		ar = 93224.3224027566m²