Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65984 / 66240
↖ ↑ ↗
← S  1.933227°
E  1.230469°		 ← 305.25 m → S  1.933227°
E  1.233215°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  1.935972°
E  1.230469°		 ← 305.25 m →
93 173 m²		 S  1.935972°
E  1.233215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503421783447266 y=0.505374908447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503421783447266 × 217)
    floor (0.503421783447266 × 131072)
    floor (65984.5)     		tx = 65984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505374908447266 × 217)
    floor (0.505374908447266 × 131072)
    floor (66240.5)     		ty = 66240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65984 / 66240 ti = "17/65984/66240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65984/66240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65984 ÷ 217
    65984 ÷ 131072     		x = 0.50341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66240 ÷ 217
    66240 ÷ 131072     		y = 0.50537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50341796875 × 2 - 1) × π
    0.0068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02147573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50537109375 × 2 - 1) × π
    -0.0107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0337475773325195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02147573} λ = 0.02147573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0337475773325195))-π/2
    2×atan(0.966815519991225)-π/2
    2×0.768527576742977-π/2
    1.53705515348595-1.57079632675     		φ = -0.03374117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02147573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.230469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03374117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.933227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65984 KachelY 66240 0.02147573 -0.03374117 1.230469 -1.933227
    Oben rechts KachelX + 1 65985 KachelY 66240 0.02152367 -0.03374117 1.233215 -1.933227
    Unten links KachelX 65984 KachelY + 1 66241 0.02147573 -0.03378908 1.230469 -1.935972
    Unten rechts KachelX + 1 65985 KachelY + 1 66241 0.02152367 -0.03378908 1.233215 -1.935972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03374117--0.03378908) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dl = 305.234609999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03374117--0.03378908) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dr = 305.234609999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02147573-0.02152367) × cos(-0.03374117) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.999430820725887 × 6371000     		do = 305.251897999032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02147573-0.02152367) × cos(-0.03378908) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.999429203346114 × 6371000     		du = 305.251404009618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03374117)-sin(-0.03378908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999430820725887-0.999429203346114)×R²
    abs(0.02152367-0.02147573)×1.61737977300014e-06×R²
    4.79400000000033e-05×1.61737977300014e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.61737977300014e-06×40589641000000     		ar = 93173.3686639717m²