Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 660 / 156
↖ ↑ ↗
← N 77.157163°
E 52.031250°		 ← 8 689.26 m → N 77.157163°
E 52.382813°		 →
↑
8 715.34 m
↓
↑
8 715.34 m
↓
N 77.078784°
E 52.031250°		 ← 8 741.39 m →
75 957 012 m²		 N 77.078784°
E 52.382813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64501953125 y=0.15283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64501953125 × 210)
    floor (0.64501953125 × 1024)
    floor (660.5)     		tx = 660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15283203125 × 210)
    floor (0.15283203125 × 1024)
    floor (156.5)     		ty = 156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 660 / 156 ti = "10/660/156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/660/156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 660 ÷ 210
    660 ÷ 1024     		x = 0.64453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 156 ÷ 210
    156 ÷ 1024     		y = 0.15234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64453125 × 2 - 1) × π
    0.2890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.90811663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15234375 × 2 - 1) × π
    0.6953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18438864188672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90811663} λ = 0.90811663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18438864188672))-π/2
    2×atan(8.88521484438621)-π/2
    2×1.45872142714891-π/2
    2.91744285429783-1.57079632675     		φ = 1.34664653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90811663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34664653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.157163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 660 KachelY 156 0.90811663 1.34664653 52.031250 77.157163
    Oben rechts KachelX + 1 661 KachelY 156 0.91425255 1.34664653 52.382813 77.157163
    Unten links KachelX 660 KachelY + 1 157 0.90811663 1.34527856 52.031250 77.078784
    Unten rechts KachelX + 1 661 KachelY + 1 157 0.91425255 1.34527856 52.382813 77.078784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34664653-1.34527856) × R
    0.00136797 × 6371000     		dl = 8715.33686999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34664653-1.34527856) × R
    0.00136797 × 6371000     		dr = 8715.33686999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90811663-0.91425255) × cos(1.34664653) × R
    0.00613592000000007 × 0.222277508521736 × 6371000     		do = 8689.26043127517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90811663-0.91425255) × cos(1.34527856) × R
    0.00613592000000007 × 0.223611048224246 × 6371000     		du = 8741.39109374126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34664653)-sin(1.34527856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222277508521736-0.223611048224246)×R²
    abs(0.91425255-0.90811663)×0.00133353970250946×R²
    0.00613592000000007×0.00133353970250946×6371000²
    0.00613592000000007×0.00133353970250946×40589641000000     		ar = 75957011.7971802m²