Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66016 / 65952
↖ ↑ ↗
← S  1.142502°
E  1.318359°		 ← 305.37 m → S  1.142502°
E  1.321106°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.145249°
E  1.318359°		 ← 305.36 m →
93 247 m²		 S  1.145249°
E  1.321106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503665924072266 y=0.503177642822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503665924072266 × 217)
    floor (0.503665924072266 × 131072)
    floor (66016.5)     		tx = 66016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503177642822266 × 217)
    floor (0.503177642822266 × 131072)
    floor (65952.5)     		ty = 65952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66016 / 65952 ti = "17/66016/65952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66016/65952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66016 ÷ 217
    66016 ÷ 131072     		x = 0.503662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65952 ÷ 217
    65952 ÷ 131072     		y = 0.503173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503662109375 × 2 - 1) × π
    0.00732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02300971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503173828125 × 2 - 1) × π
    -0.00634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0199417502419434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02300971} λ = 0.02300971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0199417502419434))-π/2
    2×atan(0.980255771305279)-π/2
    2×0.775427949069422-π/2
    1.55085589813884-1.57079632675     		φ = -0.01994043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02300971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.318359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01994043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.142502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66016 KachelY 65952 0.02300971 -0.01994043 1.318359 -1.142502
    Oben rechts KachelX + 1 66017 KachelY 65952 0.02305765 -0.01994043 1.321106 -1.142502
    Unten links KachelX 66016 KachelY + 1 65953 0.02300971 -0.01998836 1.318359 -1.145249
    Unten rechts KachelX + 1 66017 KachelY + 1 65953 0.02305765 -0.01998836 1.321106 -1.145249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01994043--0.01998836) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01994043--0.01998836) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02300971-0.02305765) × cos(-0.01994043) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999801196213214 × 6371000     		do = 305.365020206305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02300971-0.02305765) × cos(-0.01998836) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999800239383327 × 6371000     		du = 305.364727965828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01994043)-sin(-0.01998836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999801196213214-0.999800239383327)×R²
    abs(0.02305765-0.02300971)×9.56829887543975e-07×R²
    4.79399999999998e-05×9.56829887543975e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×9.56829887543975e-07×40589641000000     		ar = 93246.8378594716m²