Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66050 / 66050
↖ ↑ ↗
← S  1.411600°
E  1.411743°		 ← 305.27 m → S  1.411600°
E  1.414490°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.414346°
E  1.411743°		 ← 305.27 m →
93 218 m²		 S  1.414346°
E  1.414490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503925323486328 y=0.503925323486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503925323486328 × 217)
    floor (0.503925323486328 × 131072)
    floor (66050.5)     		tx = 66050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503925323486328 × 217)
    floor (0.503925323486328 × 131072)
    floor (66050.5)     		ty = 66050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66050 / 66050 ti = "17/66050/66050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66050/66050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66050 ÷ 217
    66050 ÷ 131072     		x = 0.503921508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66050 ÷ 217
    66050 ÷ 131072     		y = 0.503921508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503921508789062 × 2 - 1) × π
    0.007843017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02463957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503921508789062 × 2 - 1) × π
    -0.007843017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0246395664047089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02463957} λ = 0.02463957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0246395664047089))-π/2
    2×atan(0.975661509846475)-π/2
    2×0.77307962657956-π/2
    1.54615925315912-1.57079632675     		φ = -0.02463707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02463957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.411743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02463707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.411600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66050 KachelY 66050 0.02463957 -0.02463707 1.411743 -1.411600
    Oben rechts KachelX + 1 66051 KachelY 66050 0.02468750 -0.02463707 1.414490 -1.411600
    Unten links KachelX 66050 KachelY + 1 66051 0.02463957 -0.02468500 1.411743 -1.414346
    Unten rechts KachelX + 1 66051 KachelY + 1 66051 0.02468750 -0.02468500 1.414490 -1.414346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02463707--0.02468500) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02463707--0.02468500) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02463957-0.02468750) × cos(-0.02463707) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999696522741891 × 6371000     		do = 305.269359568415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02463957-0.02468750) × cos(-0.02468500) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999695340858289 × 6371000     		du = 305.268998666039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02463707)-sin(-0.02468500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999696522741891-0.999695340858289)×R²
    abs(0.02468750-0.02463957)×1.1818836018751e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.1818836018751e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.1818836018751e-06×40589641000000     		ar = 93217.6162495133m²