Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66052 / 66060
↖ ↑ ↗
← S  1.439057°
E  1.417236°		 ← 305.33 m → S  1.439057°
E  1.419983°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.441804°
E  1.417236°		 ← 305.33 m →
93 236 m²		 S  1.441804°
E  1.419983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503940582275391 y=0.504001617431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503940582275391 × 217)
    floor (0.503940582275391 × 131072)
    floor (66052.5)     		tx = 66052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504001617431641 × 217)
    floor (0.504001617431641 × 131072)
    floor (66060.5)     		ty = 66060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66052 / 66060 ti = "17/66052/66060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66052/66060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66052 ÷ 217
    66052 ÷ 131072     		x = 0.503936767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66060 ÷ 217
    66060 ÷ 131072     		y = 0.503997802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503936767578125 × 2 - 1) × π
    0.00787353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02473544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503997802734375 × 2 - 1) × π
    -0.00799560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0251189354009094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02473544} λ = 0.02473544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0251189354009094))-π/2
    2×atan(0.975193920050848)-π/2
    2×0.772840016244236-π/2
    1.54568003248847-1.57079632675     		φ = -0.02511629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02473544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.417236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02511629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.439057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66052 KachelY 66060 0.02473544 -0.02511629 1.417236 -1.439057
    Oben rechts KachelX + 1 66053 KachelY 66060 0.02478338 -0.02511629 1.419983 -1.439057
    Unten links KachelX 66052 KachelY + 1 66061 0.02473544 -0.02516422 1.417236 -1.441804
    Unten rechts KachelX + 1 66053 KachelY + 1 66061 0.02478338 -0.02516422 1.419983 -1.441804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02511629--0.02516422) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02511629--0.02516422) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02473544-0.02478338) × cos(-0.02511629) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999684602568969 × 6371000     		do = 305.329409506232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02473544-0.02478338) × cos(-0.02516422) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999683397723473 × 6371000     		du = 305.329041515405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02511629)-sin(-0.02516422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999684602568969-0.999683397723473)×R²
    abs(0.02478338-0.02473544)×1.20484549570588e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.20484549570588e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.20484549570588e-06×40589641000000     		ar = 93235.952138161m²