Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66056 / 65032
↖ ↑ ↗
← N  1.384143°
E  1.428223°		 ← 305.27 m → N  1.384143°
E  1.430969°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  1.381397°
E  1.428223°		 ← 305.27 m →
93 219 m²		 N  1.381397°
E  1.430969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503971099853516 y=0.496158599853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503971099853516 × 217)
    floor (0.503971099853516 × 131072)
    floor (66056.5)     		tx = 66056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.496158599853516 × 217)
    floor (0.496158599853516 × 131072)
    floor (65032.5)     		ty = 65032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66056 / 65032 ti = "17/66056/65032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66056/65032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66056 ÷ 217
    66056 ÷ 131072     		x = 0.50396728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65032 ÷ 217
    65032 ÷ 131072     		y = 0.49615478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50396728515625 × 2 - 1) × π
    0.0079345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02492719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49615478515625 × 2 - 1) × π
    0.0076904296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0241601974085083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02492719} λ = 0.02492719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0241601974085083))-π/2
    2×atan(1.0244544196891)-π/2
    2×0.797477087050424-π/2
    1.59495417410085-1.57079632675     		φ = 0.02415785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02492719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.428223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02415785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.384143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66056 KachelY 65032 0.02492719 0.02415785 1.428223 1.384143
    Oben rechts KachelX + 1 66057 KachelY 65032 0.02497512 0.02415785 1.430969 1.384143
    Unten links KachelX 66056 KachelY + 1 65033 0.02492719 0.02410992 1.428223 1.381397
    Unten rechts KachelX + 1 66057 KachelY + 1 65033 0.02497512 0.02410992 1.430969 1.381397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02415785-0.02410992) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02415785-0.02410992) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02492719-0.02497512) × cos(0.02415785) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999708213332703 × 6371000     		do = 305.272929430957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02492719-0.02497512) × cos(0.02410992) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999709369957525 × 6371000     		du = 305.273282620261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02415785)-sin(0.02410992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999708213332703-0.999709369957525)×R²
    abs(0.02497512-0.02492719)×1.15662482202961e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.15662482202961e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.15662482202961e-06×40589641000000     		ar = 93218.8153782377m²