Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66079 / 66081
↖ ↑ ↗
← S  1.496717°
E  1.491394°		 ← 305.26 m → S  1.496717°
E  1.494140°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.499463°
E  1.491394°		 ← 305.26 m →
93 195 m²		 S  1.499463°
E  1.494140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504146575927734 y=0.504161834716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504146575927734 × 217)
    floor (0.504146575927734 × 131072)
    floor (66079.5)     		tx = 66079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504161834716797 × 217)
    floor (0.504161834716797 × 131072)
    floor (66081.5)     		ty = 66081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66079 / 66081 ti = "17/66079/66081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66079/66081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66079 ÷ 217
    66079 ÷ 131072     		x = 0.504142761230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66081 ÷ 217
    66081 ÷ 131072     		y = 0.504158020019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504142761230469 × 2 - 1) × π
    0.0082855224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02602974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504158020019531 × 2 - 1) × π
    -0.0083160400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0261256102929306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02602974} λ = 0.02602974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0261256102929306))-π/2
    2×atan(0.974212710778912)-π/2
    2×0.772336843994995-π/2
    1.54467368798999-1.57079632675     		φ = -0.02612264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02602974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.491394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02612264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.496717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66079 KachelY 66081 0.02602974 -0.02612264 1.491394 -1.496717
    Oben rechts KachelX + 1 66080 KachelY 66081 0.02607767 -0.02612264 1.494140 -1.496717
    Unten links KachelX 66079 KachelY + 1 66082 0.02602974 -0.02617056 1.491394 -1.499463
    Unten rechts KachelX + 1 66080 KachelY + 1 66082 0.02607767 -0.02617056 1.494140 -1.499463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02612264--0.02617056) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02612264--0.02617056) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02602974-0.02607767) × cos(-0.02612264) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999658823241744 × 6371000     		do = 305.25784757252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02602974-0.02607767) × cos(-0.02617056) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999657570439429 × 6371000     		du = 305.257465014262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02612264)-sin(-0.02617056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999658823241744-0.999657570439429)×R²
    abs(0.02607767-0.02602974)×1.2528023152214e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.2528023152214e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.2528023152214e-06×40589641000000     		ar = 93194.649651347m²