Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66111 / 66113
↖ ↑ ↗
← S  1.584576°
E  1.579285°		 ← 305.25 m → S  1.584576°
E  1.582031°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.587321°
E  1.579285°		 ← 305.24 m →
93 191 m²		 S  1.587321°
E  1.582031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504390716552734 y=0.504405975341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504390716552734 × 217)
    floor (0.504390716552734 × 131072)
    floor (66111.5)     		tx = 66111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504405975341797 × 217)
    floor (0.504405975341797 × 131072)
    floor (66113.5)     		ty = 66113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66111 / 66113 ti = "17/66111/66113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66111/66113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66111 ÷ 217
    66111 ÷ 131072     		x = 0.504386901855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66113 ÷ 217
    66113 ÷ 131072     		y = 0.504402160644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504386901855469 × 2 - 1) × π
    0.0087738037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02756372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504402160644531 × 2 - 1) × π
    -0.0088043212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0276595910807724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02756372} λ = 0.02756372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0276595910807724))-π/2
    2×atan(0.972719432819975)-π/2
    2×0.771570130940905-π/2
    1.54314026188181-1.57079632675     		φ = -0.02765606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02756372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.579285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02765606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.584576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66111 KachelY 66113 0.02756372 -0.02765606 1.579285 -1.584576
    Oben rechts KachelX + 1 66112 KachelY 66113 0.02761165 -0.02765606 1.582031 -1.584576
    Unten links KachelX 66111 KachelY + 1 66114 0.02756372 -0.02770398 1.579285 -1.587321
    Unten rechts KachelX + 1 66112 KachelY + 1 66114 0.02761165 -0.02770398 1.582031 -1.587321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02765606--0.02770398) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02765606--0.02770398) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02756372-0.02761165) × cos(-0.02765606) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999617595547318 × 6371000     		do = 305.245258200058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02756372-0.02761165) × cos(-0.02770398) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999616269290134 × 6371000     		du = 305.244853211472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02765606)-sin(-0.02770398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999617595547318-0.999616269290134)×R²
    abs(0.02761165-0.02756372)×1.32625718374246e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.32625718374246e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.32625718374246e-06×40589641000000     		ar = 93190.8027131088m²