Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 662 / 146
↖ ↑ ↗
← N 77.915669°
E 52.734375°		 ← 8 183.96 m → N 77.915669°
E 53.085938°		 →
↑
8 208.52 m
↓
↑
8 208.52 m
↓
N 77.841848°
E 52.734375°		 ← 8 233.20 m →
67 380 330 m²		 N 77.841848°
E 53.085938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64697265625 y=0.14306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64697265625 × 210)
    floor (0.64697265625 × 1024)
    floor (662.5)     		tx = 662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14306640625 × 210)
    floor (0.14306640625 × 1024)
    floor (146.5)     		ty = 146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 662 / 146 ti = "10/662/146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/662/146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 662 ÷ 210
    662 ÷ 1024     		x = 0.646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 146 ÷ 210
    146 ÷ 1024     		y = 0.142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.646484375 × 2 - 1) × π
    0.29296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.92038847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142578125 × 2 - 1) × π
    0.71484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24574787340039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.92038847} λ = 0.92038847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24574787340039))-π/2
    2×atan(9.44747843288317)-π/2
    2×1.46534064474344-π/2
    2.93068128948688-1.57079632675     		φ = 1.35988496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.92038847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35988496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.915669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 662 KachelY 146 0.92038847 1.35988496 52.734375 77.915669
    Oben rechts KachelX + 1 663 KachelY 146 0.92652440 1.35988496 53.085938 77.915669
    Unten links KachelX 662 KachelY + 1 147 0.92038847 1.35859654 52.734375 77.841848
    Unten rechts KachelX + 1 663 KachelY + 1 147 0.92652440 1.35859654 53.085938 77.841848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35988496-1.35859654) × R
    0.00128842000000007 × 6371000     		dl = 8208.52382000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35988496-1.35859654) × R
    0.00128842000000007 × 6371000     		dr = 8208.52382000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.92038847-0.92652440) × cos(1.35988496) × R
    0.00613593000000001 × 0.209351158050482 × 6371000     		do = 8183.95757030157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.92038847-0.92652440) × cos(1.35859654) × R
    0.00613593000000001 × 0.210610853227156 × 6371000     		du = 8233.20158678285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35988496)-sin(1.35859654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209351158050482-0.210610853227156)×R²
    abs(0.92652440-0.92038847)×0.00125969517667396×R²
    0.00613593000000001×0.00125969517667396×6371000²
    0.00613593000000001×0.00125969517667396×40589641000000     		ar = 67380330.3199346m²