Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 663 / 151
↖ ↑ ↗
← N 77.542096°
E 53.085938°		 ← 8 433 m → N 77.542096°
E 53.437500°		 →
↑
8 458.27 m
↓
↑
8 458.27 m
↓
N 77.466029°
E 53.085938°		 ← 8 483.67 m →
71 542 892 m²		 N 77.466029°
E 53.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64794921875 y=0.14794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64794921875 × 210)
    floor (0.64794921875 × 1024)
    floor (663.5)     		tx = 663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14794921875 × 210)
    floor (0.14794921875 × 1024)
    floor (151.5)     		ty = 151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 663 / 151 ti = "10/663/151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/663/151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 663 ÷ 210
    663 ÷ 1024     		x = 0.6474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 151 ÷ 210
    151 ÷ 1024     		y = 0.1474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6474609375 × 2 - 1) × π
    0.294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.92652440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1474609375 × 2 - 1) × π
    0.705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21506825764355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.92652440} λ = 0.92652440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21506825764355))-π/2
    2×atan(9.16203446914887)-π/2
    2×1.46208060509691-π/2
    2.92416121019382-1.57079632675     		φ = 1.35336488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.92652440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.085938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35336488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.542096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 663 KachelY 151 0.92652440 1.35336488 53.085938 77.542096
    Oben rechts KachelX + 1 664 KachelY 151 0.93266032 1.35336488 53.437500 77.542096
    Unten links KachelX 663 KachelY + 1 152 0.92652440 1.35203726 53.085938 77.466029
    Unten rechts KachelX + 1 664 KachelY + 1 152 0.93266032 1.35203726 53.437500 77.466029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35336488-1.35203726) × R
    0.00132762000000008 × 6371000     		dl = 8458.26702000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35336488-1.35203726) × R
    0.00132762000000008 × 6371000     		dr = 8458.26702000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.92652440-0.93266032) × cos(1.35336488) × R
    0.00613591999999996 × 0.215722261434972 × 6371000     		do = 8433.00306404488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.92652440-0.93266032) × cos(1.35203726) × R
    0.00613591999999996 × 0.217018431814494 × 6371000     		du = 8483.67288694273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35336488)-sin(1.35203726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215722261434972-0.217018431814494)×R²
    abs(0.93266032-0.92652440)×0.00129617037952223×R²
    0.00613591999999996×0.00129617037952223×6371000²
    0.00613591999999996×0.00129617037952223×40589641000000     		ar = 71542891.6504514m²