Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 664 / 152
↖ ↑ ↗
← N 77.466029°
E 53.437500°		 ← 8 483.67 m → N 77.466029°
E 53.789062°		 →
↑
8 509.17 m
↓
↑
8 509.17 m
↓
N 77.389504°
E 53.437500°		 ← 8 534.63 m →
72 405 849 m²		 N 77.389504°
E 53.789062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64892578125 y=0.14892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64892578125 × 210)
    floor (0.64892578125 × 1024)
    floor (664.5)     		tx = 664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14892578125 × 210)
    floor (0.14892578125 × 1024)
    floor (152.5)     		ty = 152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 664 / 152 ti = "10/664/152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/664/152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 664 ÷ 210
    664 ÷ 1024     		x = 0.6484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 152 ÷ 210
    152 ÷ 1024     		y = 0.1484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6484375 × 2 - 1) × π
    0.296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.93266032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1484375 × 2 - 1) × π
    0.703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20893233449219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93266032} λ = 0.93266032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20893233449219))-π/2
    2×atan(9.10598905076639)-π/2
    2×1.46141679107316-π/2
    2.92283358214632-1.57079632675     		φ = 1.35203726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93266032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35203726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.466029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 664 KachelY 152 0.93266032 1.35203726 53.437500 77.466029
    Oben rechts KachelX + 1 665 KachelY 152 0.93879624 1.35203726 53.789062 77.466029
    Unten links KachelX 664 KachelY + 1 153 0.93266032 1.35070165 53.437500 77.389504
    Unten rechts KachelX + 1 665 KachelY + 1 153 0.93879624 1.35070165 53.789062 77.389504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35203726-1.35070165) × R
    0.00133560999999993 × 6371000     		dl = 8509.17130999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35203726-1.35070165) × R
    0.00133560999999993 × 6371000     		dr = 8509.17130999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93266032-0.93879624) × cos(1.35203726) × R
    0.00613591999999996 × 0.217018431814494 × 6371000     		do = 8483.67288694273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93266032-0.93879624) × cos(1.35070165) × R
    0.00613591999999996 × 0.21832201694531 × 6371000     		du = 8534.63256690013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35203726)-sin(1.35070165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217018431814494-0.21832201694531)×R²
    abs(0.93879624-0.93266032)×0.00130358513081558×R²
    0.00613591999999996×0.00130358513081558×6371000²
    0.00613591999999996×0.00130358513081558×40589641000000     		ar = 72405849.0197765m²