Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 664 / 153
↖ ↑ ↗
← N 77.389504°
E 53.437500°		 ← 8 534.63 m → N 77.389504°
E 53.789062°		 →
↑
8 560.20 m
↓
↑
8 560.20 m
↓
N 77.312520°
E 53.437500°		 ← 8 585.88 m →
73 277 553 m²		 N 77.312520°
E 53.789062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64892578125 y=0.14990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64892578125 × 210)
    floor (0.64892578125 × 1024)
    floor (664.5)     		tx = 664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14990234375 × 210)
    floor (0.14990234375 × 1024)
    floor (153.5)     		ty = 153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 664 / 153 ti = "10/664/153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/664/153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 664 ÷ 210
    664 ÷ 1024     		x = 0.6484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 153 ÷ 210
    153 ÷ 1024     		y = 0.1494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6484375 × 2 - 1) × π
    0.296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.93266032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1494140625 × 2 - 1) × π
    0.701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.20279641134082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93266032} λ = 0.93266032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20279641134082))-π/2
    2×atan(9.0502864698762)-π/2
    2×1.46074898908034-π/2
    2.92149797816067-1.57079632675     		φ = 1.35070165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93266032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35070165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.389504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 664 KachelY 153 0.93266032 1.35070165 53.437500 77.389504
    Oben rechts KachelX + 1 665 KachelY 153 0.93879624 1.35070165 53.789062 77.389504
    Unten links KachelX 664 KachelY + 1 154 0.93266032 1.34935803 53.437500 77.312520
    Unten rechts KachelX + 1 665 KachelY + 1 154 0.93879624 1.34935803 53.789062 77.312520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35070165-1.34935803) × R
    0.00134361999999988 × 6371000     		dl = 8560.20301999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35070165-1.34935803) × R
    0.00134361999999988 × 6371000     		dr = 8560.20301999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93266032-0.93879624) × cos(1.35070165) × R
    0.00613591999999996 × 0.21832201694531 × 6371000     		do = 8534.63256690013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93266032-0.93879624) × cos(1.34935803) × R
    0.00613591999999996 × 0.219633027044924 × 6371000     		du = 8585.88250333922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35070165)-sin(1.34935803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21832201694531-0.219633027044924)×R²
    abs(0.93879624-0.93266032)×0.00131101009961423×R²
    0.00613591999999996×0.00131101009961423×6371000²
    0.00613591999999996×0.00131101009961423×40589641000000     		ar = 73277553.4281959m²