Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6655 / 10750
↖ ↑ ↗
← S 48.893615°
W 33.771973°		 ← 1 606.36 m → S 48.893615°
W 33.750000°		 →
↑
1 606.13 m
↓
↑
1 606.13 m
↓
S 48.908060°
W 33.771973°		 ← 1 605.89 m →
2 579 642 m²		 S 48.908060°
W 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406219482421875 y=0.656158447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406219482421875 × 214)
    floor (0.406219482421875 × 16384)
    floor (6655.5)     		tx = 6655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656158447265625 × 214)
    floor (0.656158447265625 × 16384)
    floor (10750.5)     		ty = 10750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6655 / 10750 ti = "14/6655/10750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6655/10750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6655 ÷ 214
    6655 ÷ 16384     		x = 0.40618896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10750 ÷ 214
    10750 ÷ 16384     		y = 0.6561279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40618896484375 × 2 - 1) × π
    -0.1876220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58943212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6561279296875 × 2 - 1) × π
    -0.312255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.980980713824829
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58943212} λ = -0.58943212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.980980713824829))-π/2
    2×atan(0.37494320649619)-π/2
    2×0.358720877775912-π/2
    0.717441755551824-1.57079632675     		φ = -0.85335457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58943212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.771973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85335457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.893615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6655 KachelY 10750 -0.58943212 -0.85335457 -33.771973 -48.893615
    Oben rechts KachelX + 1 6656 KachelY 10750 -0.58904862 -0.85335457 -33.750000 -48.893615
    Unten links KachelX 6655 KachelY + 1 10751 -0.58943212 -0.85360667 -33.771973 -48.908060
    Unten rechts KachelX + 1 6656 KachelY + 1 10751 -0.58904862 -0.85360667 -33.750000 -48.908060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85335457--0.85360667) × R
    0.000252099999999977 × 6371000     		dl = 1606.12909999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85335457--0.85360667) × R
    0.000252099999999977 × 6371000     		dr = 1606.12909999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58943212--0.58904862) × cos(-0.85335457) × R
    0.000383499999999981 × 0.657459214465196 × 6371000     		do = 1606.35596332962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58943212--0.58904862) × cos(-0.85360667) × R
    0.000383499999999981 × 0.657269238712331 × 6371000     		du = 1605.89179965713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85335457)-sin(-0.85360667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657459214465196-0.657269238712331)×R²
    abs(-0.58904862--0.58943212)×0.000189975752864946×R²
    0.000383499999999981×0.000189975752864946×6371000²
    0.000383499999999981×0.000189975752864946×40589641000000     		ar = 2579642.31793321m²